3 boyutlu kürelerin VC boyutu

Aşağıdaki set sisteminin VC boyutunu arıyorum.

Evren $U=\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}$ öyle ki $U\subseteq \mathbb{R}^3$. Set sisteminde$\mathcal{R}$ her set $S\in \mathcal{R}$ bir küreye karşılık gelir $\mathbb{R}^3$ öyle ki set $S$ içinde bir öğe içeriyor $U$ yalnızca ve karşılık gelen küre içeriyorsa $\mathbb{R}^3$.

Zaten bildiğim detaylar.

1. VC boyutu en az 4'tür. Bunun nedeni, $p_1,p_2,p_3,p_4$ tetrahedronun 4 köşesi $\mathcal{R}$

2. VC boyutu en az 5'tir. Bunun nedeni, set sisteminin gömülü olabilmesidir. $\mathcal{R}^4$ küreler ile $\mathcal{R}^3$ hiperplanta karşılık gelen $\mathcal{R}^4$. Hiperplantaların$\mathcal{R}^d$ VC boyutuna sahip olmak $d+1$.

İşte kolay bir argüman:

Bir set olduğunu varsayalım $U$Toplar tarafından parçalanabilen 5 puan. Yani herhangi bir set için$S \subseteq U$, bir top var $B$ st $B \cap U = S$ ve bir top $B'$ st $B' \cap U = U \setminus S$. Bu nedenle,$B \cap B'$ puan içermiyor $U$. Eğer$B \cap B' = \emptyset$, $B$ ve $B'$bir düzlemle ayrılabilir. Aksi takdirde, yüzeylerin kesişimi$B$ ve $B'$bir çemberdir. Dairenin bulunduğu düzlem ayrılır$S$ itibaren $U \setminus S$. Bu nedenle,$U$ yarım boşluklarla parçalanabilir, bir çelişki.

Daha yüksek boyuttaki aynı argüman, topların VC boyutunun yarım uzayların VC boyutuna eşit olduğunu göstermektedir.

Benim çözümüm yanlış. Diğer yanıtı görün ...