Kare matrislerin güçleri nasıl hesaplanır?

Farz edelim ki, bize matrisi ve . Bu matrisin gücünü ne kadar hızlı hesaplayabiliriz ?$A \in \mathbb R^{N\times N}$$m \in \mathbb N_0$$A^m$

-products hesaplamasına göre bir sonraki en iyi şey, matris ürünleri gerektiren hızlı üslendirme kullanmaktır .$m$$\mathcal O(\log m )$

Köşegenleştirilebilir matrisler için özdeğer ayrışması kullanılabilir. Bu doğal genelleme, Ürdün ayrışması, pertubasyon altında kararsızdır ve bu nedenle sayılmaz (afaik).

Genel durumda matris üsleri hızlandırılabilir mi?

Hızlı üs alma, bu sorunun bir varyasyonunun da yararlı olduğunu göstermektedir:

Genel bir matrisinin karesi, bilinen matris çarpma algoritmalarından daha hızlı hesaplanabilir mi?$A$

Notu olarak, bilgisayar yapılabilir kat üzerine matris çoğalması için işlem sayısı matrisler. İkinci sorunuzun cevabı en azından asimptotik karmaşıklık için hayırdır - matris karesi ve matris çarpımı eşdeğer zaman / aritmetik karmaşıklığa sahiptir (sabit faktörlere kadar). Karenin matris çarpımına indirgenmesi açıktır. Kareye çarpmayı azaltmak için, ve çarpımını hesaplamak istediğimizi varsayalım . Form matris blok yapı ile:$A^m$$O(\log m)$$N \times N$$A$$B$$2n \times 2n$$C$

$[0~~A]$

$[B~~0]$

Kendisine, türünde bir her sıfır sol üst kadranda matris ve alt sağ kadrana. sol üst çeyreğinde içerdiğini unutmayın .$C$$n \times n$$C^2$$A\cdot B$