Bir kareyle çakışan kalın bölgelerin sayılması

Let birim kare olmak. fonksiyonu olarak , kesişebilecek en az 1 çapa sahip maksimum -fat çiftli-ayrık bölge sayısı nedir? $S$ $\beta$ $\beta$ $S$

Aşağıda, için maksimum sayının 7 olduğunu gösteren bir rakam veriyoruz . ? $\beta=1$ $\beta = 2, 3, \ldots, n$

Düzlemdeki bölgeler için yağ tanımını hatırlayın . Bir bölge verilen , daire izin yarıçapının içerdiği büyük çember , ve daire izin yarıçapının içeren en küçük çember . Şişmanlık ve tarafından verilen , ve söylemek olduğu için, -FAT . $R$ $C_1$ $r_1$ $R$ $C_2$ $r_2$ $R$ $R$ $\frac{r_2}{r_1}$ $R$ $\beta$ $\beta = \frac{r_2}{r_1}$

Örneğin, , bölgeler birim dairelerdir ve birbirleriyle çakışmadan çakışabilecek en az 1 çapa sahip 7 dairede vardır . Aşağıdaki şekilde birim kareyi ve karenin üzerine binen 7 birim çemberi tasvir ettik. $r_2 = r_1=\frac{1}{2}$ $S$

çakışan daireler

cg.comp-geom

— Joe
kaynak

Durum "en az

S

$S$ "kafa karıştırıcı ve bölgeler hakkında konuşuyorsanız, bir yarıçap çemberi

1

$1$ kadar büyük değil

S

$S$ . Ayrıca,

r_{2} = r_{1} = 1

$r_2 = r_1 = 1$ durumda, koyabilirsiniz

7

$7$ daireler (ortasında

S

$S$ ), aptalca yanlış mıyım?

— Yixin Cao

"Kalın" tanımınız "yağ" ın standart tanımlarından biridir. " S ile kesişebilecek en az 1 çapa sahip maksimum kalın ayrık bölge sayısını" kastediyorsunuz , aksi takdirde üst sınır yoktur. Küçük daireler kalınlığı 1 var.

— Jeffε

@ Jɛ ﬀ E evet, tam olarak söylemeye çalışıyorum. Açıklığa kavuşturmak için soruyu düzenleyeceğim.

— Joe

@YixinCao Umarım işleri netleştirmesi gereken bir rakam verdim.

— Joe

@Joe Resmimin gösterdiği gibi, yedi daire mümkündür. Mesele şudur: iki zıt noktaya teğet iki daire (neredeyse). Çizimim her zaman kötü, ama umarım grafik yardımcı olur.

— Yixin Cao

Bence kare ile örtüşen maksimum çiftli ayrık yağ bölgesi sayısının daire ambalajı ile güçlü bir şekilde ilişkili olması gerektiğini düşünüyorum.

Bir bölge için en kötü durum "top ve zincir" gibidir. Aşağıda böyle bir bölgeyi $\beta=2$ çap 1 ile

top zincir .

ve bunlar, birim karenin 1 nolu mesafesi içinde onları tasvir ettiğimden çok daha sıkı bir şekilde toplayabilir.

top zincir-paketleme

Gerçek top ve zincir bölgesinin yeşil alan tarafından tanımlandığını ve dış dairenin sadece bu bölgelerin şişmanlığa sahip olduğunu tasvir etmek için bir rehber olduğuna dikkat edin 2. Aslında, bölgenin zincir kısmı, izin vermek için "bükülebilir" paketlenecek daha fazla bölge.

resim açıklamasını buraya girin

— Joe
kaynak