Bir matrisin tamamen düzenli olup olmadığına karar vermenin karmaşıklığı

Tüm kare alt matrislerinin tam sırası varsa, bir matris tamamen düzenli olarak adlandırılır. Bu matrisler, süper-konsantratörleri oluşturmak için kullanıldı. Belirli bir matrisin gerekçeler üzerinde tamamen düzenli olup olmadığına karar vermenin karmaşıklığı nedir? Sonlu alanlar üzerinde mi?

Daha genel olarak, en fazla büyüklüğündeki tüm kare alt matrisleri tam dereceye sahipse, tamamen düzenli bir matris çağırın . Bir matris ve parametresi verildiğinde , matrisin tamamen düzenli olup olmadığına karar vermenin karmaşıklığı nedir? $k$ $k$ $k$ $k$

— Markus Bläser
kaynak

Temel bir soru: düzenli matris derken ne demek istiyorsun? Teşekkürler!

— Henry Yuen

her alt matrisin tekil olmadığı anlamına mı geliyor? şu anda bulamadığım benzer bir soru olduğunu hatırlıyorum

— Sasho Nikolov

Gerçekten, düzenli üç farklı anlam vardır: en.wikipedia.org/wiki/Regular_matrix

— Suresh Venkat

ah, ilgili soruyu buldu: cstheory.stackexchange.com/questions/10962/… . sorunuz orada yaptığım yoruma daha çok uyuyor: bu, kısıtlı izometri partisini test etme sorununun (geniş açık AFAIK) daha kolay bir varyantıdır.

— Sasho Nikolov

Sonlu alanlar üzerinde, matrisinin düzenli olup olmadığını test etmek, kod üreteci matrisinin minimum mesafe olup olmadığını kontrol etmekle eşdeğerdir (yani MDS olup olmadığı). Minimum kod mesafesini bulmak için sabit faktör yaklaşımları bile zordur. Bu kağıdı ee.ucr.edu/~dumer/ieee49-1-03-np.pdf ve içindeki referansları kontrol edin .

n \times k

$n\times k$

k

$k$

n \times k

$n\times k$

n - k + 1

$n-k+1$

— Dimitris

Yanıtlar:

Kağıt Vandermonde Matrisler, NP-Tam ve Çapraz Alt uzaylar [ps] Alexander Chistov, Hervé Fournier, Leonid Gurvits ve Pascal Koiran tarafından (gerçi o cevap vermez) Sorunuzun alakalı olabilir.

Aşağıdaki sorunun kanıtlarlar : ( ) üzerinde matrisi verildiğinde, determinant yok olan bir matrisi olup olmadığına karar verin . $\mathsf{NP}$ $n\times m$ $\mathbb Z$ $n\le m$ $n\times n$

— Bruno
kaynak

Teşekkürler Bruno! Rasgele bir indirgeme ile (rasyonlar üzerinde) sorunuma cevabın sorununu azaltamaz mıyız? Sadece rastgele satırları ekleyin . Yeni matris tamamen düzenli değilse , yüksek olasılıklı ilk satırında tek bir -submatrix içerir . Ah, hayır. Alt matris daha küçük olabilir. Ama belki bu işi yapabilir ...

m - n

$m-n$

n \times n

$n \times n$

n

$n$

— Markus Bläser

Evet, probleminiz esasen Alexander Chistov, Hervé Fournier, Leonid Gurvits ve Pascal Koiran gazetesindeki (Genel Konum) ile eşdeğerdir .

Bir matrisi , düşünün . Genelliği kaybetmeden, varsayalım ve birinci sütunları bağımsız: , tekil olmayan a, matrisini. Şimdi , yalnızca tamamen düzenli değilse, tek bir matrisi içerir . $n \times m$ $A$ $n < m$ $\text{rank}(A) = n$ $n$ $A$ $A =[B\ |\ D]$ $B$ $n \times n$ $A$ $n \times n$ $B^{-1}D$

— leonid gurvits
kaynak

Aynı ruhta başka bir NP-Complete problemi var: bir kare matrisin tüm ana alt matrislerinin (yani aynı kümedeki satırlar ve sütunlar) nonsüler olup olmadığına karar vermesi. Bir başka ilginç gerçek: tüm kare alt matrislerin belirleyicilerinin karelerinin toplamı kolaydır (sadece Det (I + AA ^ {T})), ancak mutlak değerlerin toplamı # P-Complete'dir.

— leonid gurvits
kaynak