Birkaç “keskin” köşesi olan grafikler mi çiziyorsunuz?

Düz kenarlı bir düzlemde düzlemsel bir grafiğin düzlemsel olarak gömülmesi için bir tepe noktasını etrafındaki iki ardışık kenar arasındaki maksimum açı 180'den fazlaysa keskin . o köşede meydana gelen tüm kenarlar çizginin bir tarafında olacak şekilde, o zaman tepe noktası "keskin" olacak şekilde aksi halde köşede değildir. Ayrıca, sadece en az 3 derece olan köşeler için endişelenelim.

Birkaç keskin köşesi olan düzlemsel grafikler çizmek istiyorum. Daha önce böyle çizimler çalışmış olan var mı?

Özellikle, gömme içerisindeki derece 3'ün keskin köşelerinin sayısı şekilde maksimum derece 3 ile düzlemsel grafikler çizmek istiyorum. $O(\log n)$ ve köşelerin koordinatları polinom sayısı bitleri ile yazılabilecek şekilde .

Google Akademik'te biraz zaman geçirdikten sonra bulabildiklerim:

Bir tepe noktasının keskinlik ölçütüm, Açısal Çözünürlük adı verilen önceden çalışılmış bir kavramla ilgilidir . Wikipedia'dan:

Bir grafiğin çiziminin açısal çözünürlüğü, çizimin ortak bir tepe noktasında buluşan herhangi iki kenarın oluşturduğu en keskin açıyı ifade eder.

Bu nedenle derece 3 köşeleri etrafında açısal çözünürlük olan düzlemsel bir çizim benim amacım için iyi olacaktır. $\pi/2$

Çizimde derecesine sahip bir tepe noktası için, çevresindeki açısal çözünürlük en fazla $d$ $2\pi/d$ .

Bunun sıkı olup olmadığı sorusu geçmişte incelenmiştir, ancak sadece asimtotik sonuçlar bulabilirim. Örneğin, Malitz ve Papakostas , maksimum derecesine sahip herhangi bir düzlemsel grafiğin açısal çözünürlüğü ile çizilebileceğini kanıtlamaktadır . Ancak bu sonuç olduğunda durum için iyi sınırlar vermez $d$ $\alpha^d$ $d=3$ .

graph-theory cg.comp-geom graph-drawing

— Vinayak Pathak
kaynak

Bunun ne anlama geldiğinden emin değilim. Herhangi bir normal dışbükey çokgen çizerseniz, etrafındaki maksimum açı 180'den fazladır. Ve büyük n'ye sahip normal bir dışbükey çokgen "keskin" den oldukça uzaktır.

— Suresh Venkat

Keskinliği, tüm çizim değil, bir tepe noktasının özelliği olarak tanımlıyorum. Dolayısıyla, bir tepe noktası için, o tepe noktasındaki tüm kenarlar düz çizginin bir tarafında olacak şekilde düz bir çizgi çizilebilirse, köşe "keskin" olur, aksi takdirde öyle olmaz. Hmm, belki bunu orijinal soruya yazmalıyım.

— Vinayak Pathak

@Vinayak: Peki ya derece 1 ve 2 olan köşe noktaları?

— Marzio De Biasi

Göz ardı edilebilirler.

— Vinayak Pathak

Eğer açısal çözünürlük istediğiniz şeyse, bu mantıklıdır, çünkü bu bitişik kenarlar arasındaki MİNİMUM açıya bakar. bu daha önce tanımladığınızdan oldukça farklı.

— Suresh Venkat

3-düzenli düzlemsel grafikler oluşturmak mümkündür. $\Theta(n)$ her biri en az bir keskin tepe noktası içermesi gereken iki bağlantılı bileşenler (bkz. örneğin bu makalenin şekil 16 ).

Öte yandan, daha yüksek bağlantı düzeylerine ihtiyacınız varsa, çok keskin köşelere sahip olmaktan kaçınabilirsiniz. Özellikle, 3 bağlantılı bir düzlemsel grafiğiniz varsa, tüm yüzler dışbükey olacak şekilde çizilebilir (örneğin, çok yüzlü bir temsili bulmak ve sonra bir perspektif projeksiyonu oluşturmak için Steinitz teoremini kullanarak). dış yüz keskin olmak. Ancak her 3 bağlantılı düzlemsel grafik, dış yüz en fazla beş köşeye (en kötü durum dodecahedron) sahip olacak şekilde gömülebilir, böylece her 3 bağlantılı düzlemsel grafiği (3-düzenli veya değil) en keskin beş köşe.

— David Eppstein
kaynak