Bölge teoreminin daha sezgisel bir kanıtı mı?

Bölge teoremi, n çizgisinin başka bir çizgiyle düzenlenmesi durumunda, bölgesinin toplam karmaşıklığının, ona bitişik tüm 0-, 1- ve 2 yüz kümesinin O (n) olduğunu söyler . Asıl sabit, en azından çeşitli ders kitaplarında belirtildiği gibi 6n gibi bir şeydir ve kanıt, makul derecede dikkatli bir şarj argümanı ile indüksiyonladır.

Sınıfta bu soru soruldu ve cevabım yok:

Bölge teoreminin alternatif, daha sezgisel bir kanıtı var mı?

Şimdi, birçok insanın indüksiyonu oldukça sezgisel bulduğunu ve imalarımdan rahatsız olacağını fark ediyorum ve yukarıdakileri sadece onlar için "alternatif" olarak değiştirmeye hazırım. Ama böyle bir kanıt var mı? Ya da kitaptan bir kanıt mı?

Bu daha temiz değil, ancak daha gelişmiş şeyler için iyi bir hazırlıktır ve soyutlamanın iyi bir örneğidir ...

Davenport-Schinzel dizileri argümanı kullanılabilir. Bölge çizginizin üzerindeki bölgeyi düşünün. Sol ve sağ tarafların farklı olduğunu düşündüğümüz için her çizgi bir ışın ve aslında iki ışın olur. Karşılaştığınız ışınları yazarak bu bölgenin sınırını soldan sağa tarayın. Bu, 2n sembolleri üzerinde tanımlanan bir dizidir ve desen ababı yasadışıdır. Bu nedenle, dizinin uzunluğu en fazla 2 (2n) -1 = 4n-1'dir. Çizginin altındaki bölgeye uygulanması, 8n formunun bir sınırını ima eder.

Şimdi, n sembolleri ardışık olarak ... a..b..a..b ... içermeyen bir dizi sembolün 2n-1 uzunluğuna sahip olduğunu kanıtlamak kolaydır. aslında, bu sırayla birbirine en yakın olan aynı karakterin birbirini izleyen iki görünüşünü düşünün. Açıkçası, bu iki karakter arasında, görünen her karakterin benzersiz olması gerekir. Böyle bir karakteri düşünün ve dizede başka herhangi bir yerde görünüyorsa, yasak diziyi alacağımızı gözlemleyin. Bu nedenle, bu karakter dizede tam olarak bir kez görünür. İki ardışık özdeş karakter oluşturduysanız, kaldırın ve gerekirse fazladan bir karakter kaldırın. Yani, bir karakter dizgiden çıkarıldığında karakter 2 ile kısaltılır, böylece dizenin maksimum uzunluğu 2n-1'dir.

Tümevarımı oldukça sezgisel buluyorum ve imalarınızdan rahatsız oluyorum. Peki, hangi şarj iddiası?

Wlog, bölgeyi tanımlayan çizginin yatay olduğunu (başka bir şekilde döndürdüğünü) ve çizgilerin genel konumda olduğunu varsayar (aksi takdirde bölgeyi daha da bozar ve karmaşık hale getirir). Diğer n satırdan birini kaldırın. Sonuçta elde edilen bölgenin kenarlarını, bölgenin sırasıyla sağ veya soluna bağlı olarak sol veya sağ sınırlar olarak sınıflandırın. (Bazı kenarlar hem sol hem de sağ sınırlardır, ancak karmaşıklık sınırında iki kez sayılır.) Endüktif hipotez ile en fazla 3n-3 sol sınır vardır. (Temel durum n = 0 önemsizdir.) Silinen çizginin yeniden yerleştirilmesi en fazla 3 sol sınır ekler (bir satırın kendisinde ve iki daha eski sol sınırların bölünmesinden). Böylece, toplam sol sınır sayısı en fazla 3n'dir. Simetrik olarak, sağ sınırların sayısı en fazla 3n'dir, bu nedenle bölgenin toplam karmaşıklığı en fazla 6n'dir.

Bir ücretlendirme argümanı ile kanıt, David Mount'ın hesaplamalı geometri sınıfı çalışma notlarının 13. sayfasında bir alıştırma (adım adım ipuçları ile birlikte) olarak sunulmuştur: http://www.cs.umd.edu/class/fall2005/cmsc754/Handouts/ cmsc754-handouts.pdf