Üniter grup üzerinden optimizasyon karmaşıklığı

Üniter grup üzerinde çeşitli fonksiyonları optimize etmenin hesaplama karmaşıklığı nedir ? $\mathcal{U}(n)$

Tipik bir görev, kuantum bilgi teorik olarak genellikle ortaya çıkan tip bir miktar maksimize olacaktır (veya daha polinomlar ) üzerindeki tüm birim matris . Bu tür bir optimizasyon verimli (belki de yaklaşık) hesaplanabilir mi, yoksa NP zor mu? (belki bu iyi bilinir, ancak genel referanslar bulamadım) $\mathrm{Tr}AUBU^{\dagger}$ $U$ $U$

— Marcin Kotowski
kaynak

"çeşitli fonksiyonlar" ı "unitaries üzerindeki polinomlar" ile kısıtlamakta fayda var mı?

— Artem Kaznatcheev

Bu sorunların nasıl ortaya çıktığı hakkında çok şey bilmiyorum, ama bu sorunun doğal klasik analogu ne olurdu? Bu sorunun karmaşıklığını biliyor musunuz?

— Robin Kothari

1991'den Roger Brockett'in sıralama ve doğrusal programlamayı aslında tanımladığınız biçimde, ancak dikey matrisler üzerinde nasıl ifade edeceğini gösteren çok güzel bir makale var. Yine de karmaşıklıktan bahsedilmiyor, ancak iki farklı sorunun aynı şekilde ifade edilebilmesi, karmaşıklık tespiti yapmak için sorun yapısı hakkında bir şeyler bilmeniz gerektiği anlamına geliyor: eecs.berkeley.edu/~sburden/research/ jonathan / Brockett1991.pdf

— Suresh Venkat

@Artem: evet, pratikte düşük dereceli polinomlar en alakalı olanıdır bence.

— Marcin Kotowski

Verdiğiniz derece-2 örneğinde

öz-ayrışmalarına gelir . İçin

Hermisyen yekpare

ve Aygen sahip olması ile iz en üst düzeye çıkarmak için kullanılabilir

olanlar ile aynı hizada

; daha sonra, öz değerlerinin dizilerinin nokta çarpımını maksimuma çıkarmak yeterlidir; bu,

pozitif semidefinit olması önemsizdir (ve yeniden değerleme öz değerlerine kimliğin katlarını ekleyerek azaltabileceğimiz bir durum). Yoksa küçük boyutlu sistemlerde kuantum mekaniği tarafından motive edilmeyen çok daha genel durumlarla mı ilgileniyorsunuz?

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

U

$U$

U B U^{†}

$U B U^\dagger$

A

$A$

A

$A$

B

$B$

— Niel de Beaudrap

Yanıtlar:

Üzgünüm geciktim! Kuantum hesaplama teorisinde, üniter grup üzerinde şaşırtıcı bir şekilde (en azından bana göre), yarı-yan programlamaya indirgenerek (klasik) polinom zamanında çözülebilen birçok optimizasyon problemi örneği vardır.

İşte erken bir örnek: 2000'de bir problemimi çözmek , 2003'te Barnum, Saks ve Szegedy , bir Boole fonksiyonunun kuantum sorgu karmaşıklığı olan Q (f) 'nin f olduğunu gösterdi: {0,1} ⁿ → {0,1 }, 2 ^n'de zaman polinomunda hesaplanabilir (yani f'nin doğruluk tablosunun büyüklüğü). Ben bunu düşündüm ama bunu nasıl göremedim, çünkü biri tüm olası kuantum sorgu algoritmaları, her biri kendi (muhtemelen 2 ^n- boyutlu) birimsel matrisler kümesi ile başarı olasılığını optimize etmek gerekiyor . Barnum ve diğ. birimsel matrisler ve pozitif semidefinit matrisleri arasındaki bir "dualite" den faydalanarak SDP'ye indirgendi, sözde Choi-Jamiolkowski izomorfizması. Q (f) 'yi karakterize eden daha yeni ve daha basit bir SDP için, Reichardt'ın 2010 negatif kağıdının olumsuz yöntemin en uygun olduğunu gösteren makalesine bakın .

Bu hileden istifade edilen bir diğer önemli durum kuantum interaktif kanıtlama sistemlerinde. Sezgisel olarak açık olmasa da, 2000 yılında Kitaev ve Watrous , QIP ⊆ EXP olduğunu kanıtladı. 3-yuvarlak bir kuantum interaktif prova sisteminde ortaya çıkan üstel büyüklükteki birimsel matrisleri optimize etme problemini azaltarak, tek bir üstel boyutlu SDP'yi çözmek için (yine, karışık durumlar arasında Choi-Jamiolkowski izomorfizmini kullanarak üniter matrisler). Son QIP = PSPACE atılımı , belirli SDP'nin NC'de yaklaşık olarak daha iyi çözülebileceğini göstermekten geldi (yani, log derinlik devreleri ile).

Yani, üniter grupla ilgili özel optimizasyon probleminiz ne olursa olsun, tahminimce düşündüğünüzden daha hızlı çözülebilir - daha basit bir şekilde değilse, o zaman SDP'ye indirgenerek!

— Scott Aaronson
kaynak

Sevgili Scott! Barnum, Saks ve Szegedy, Choi-Jamiolkowski izomorfizminden açıkça bahsetmez ve bunun yapılarıyla nasıl ilişkili olduğunu anlamıyorum. Bu konuyu biraz açıklayabilir misiniz? Soruyorum çünkü hatalı oracles için benzer bir sonucun mümkün olup olmadığını anlamaya çalışıyorum.

— Joris

-3

İki Hadamard matrisinin eşdeğer olup olmadığını belirlemek, bir Grafik İzomorfizmi (GI) tam problemidir. Brendon McKay'in bu konuda bir makalesi var. Bkz. BD McKay, Grafik izomorfizması ile Hadamard denkliği, Ayrık Matematik, 27 (1979) 213-216.

— Dursun
kaynak

\pm 1

$\pm 1$