Rastgele grafikler içeren tutarsızlıkta bir varyasyon

Üzerinde bir grafik olduğunu varsayalım düğüm. Her bir düğüme veya atamak istiyoruz . Buna yapılandırma . gereken s sayısı tam olarak (bu nedenle s sayısı configuration .) Bir yapılandırma verildiğinde , her düğüme bakarız ve komşularına atanan değerleri toplarız. bu . Daha sonra negatif olmayan düğümlerin sayısını : $n$ $+1$ $−1$ $\sigma \in \{+1,−1\}^n$ $+1$ $s$ $−1$ $n−s$ $\sigma$ $i$ $\xi_i(\sigma)$ $\xi_i(\sigma)$

N (σ) := \sum_{i = 1}^{n} 1 {ξ_{i} (σ) \geq 0} .

$N(\sigma):=\sum_{i=1}^n 1\{\xi_i(\sigma) \ge 0\}.$ Soru şudur: değerini en üst düzeye çıkaran yapılandırma nedir? Daha da önemlisi,

cinsinden bir sınır verebilir miyiz ? Bu sorunun kimseye tanıdık gelip gelmediğini veya grafik teorisinde bilinen bir soruna indirgenip azaltılamayacağını merak ediyorum. Eğer yardımcı olursa, grafiğin Erdős-Renyi tipinin rastgele olduğu varsayılabilir (örneğin,

kenar olasılığı olan G (n, p) , yani ortalama derece

olarak büyüyen ). Ana instrest,

olduğu durumdadır .

σ

$\sigma$

N (σ)

$N(\sigma)$

(max N) / n

$(\max N)/n$

s / n

$s/n$

p (\log n) / n

$p ~ (\log n)/n$

\log n

$\log n$

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$

graph-theory co.combinatorics optimization

— passerby51
kaynak

Başlığı değiştirdim, çünkü sorduğunuz şey aralık alanlarındaki tutarsızlık sorunları ile ilgili. Bununla birlikte, grafiklerde tutarsızlık ile ilişkili DEĞİLDİR (bu, kenar yoğunluğu sapmaları hakkında daha fazladır)

— Suresh Venkat

basit sınır: rasgele almak ; ; burada , ve tepe noktasının derecesidir . Böylece, . Dersek ve grafiktir -Normal, o zaman var , öyle ki .

σ

$\sigma$

Pr [ξ_{i} (σ) < 0] \leq \exp (- C δ_{i} (s / n - 1 / 2)^{2})

$\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$

δ_{i}

$\delta_i$

i

$i$

C

$C$

E [N (σ)] \geq \sum_{i} 1 - \exp (- C δ_{i} (s / n - 1 / 2)^{2})

$E[N(\sigma)] \geq \sum_i{1-\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$

s = 3 n / 4

$s = 3n/4$

(16 / C) \log n

$(16/C)\log n$

σ

$\sigma$

N (σ) \geq n - O (1)

$N(\sigma) \geq n - O(1)$

— Sasho Nikolov

@Suresh: Teşekkürler. Bilgisayar bilim insanlarına sormaktan hoşlandığım şey, yeni bir şey öğreniyorsun! Peki, aralık alanındaki tutarsızlık sorunları hakkında bilgi edinmek için iyi bir yer nerede? (Belki kısa bir özlü makale?)

— passerby51

@Sasho: Teşekkürler. Nedense, denklemleri düzgün göremiyorum (çevreleyen metinle çarpıştılar.) Bunu okumaya ve size geri dönmeye çalışacağım. Ama benim için ilginç rejim olduğunu belirtmeliyim ve sorun olarak sert olsun görünüyor yaklaşımları . (Bu, geldiği orijinal problemdeki simetri düşüncesinden kaynaklanmaktadır.) Rastgele bir bakmak için yapmayı düşünmüyorum .

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$

s / n

$s/n$

1 / 2

$1/2$

σ

$\sigma$

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$

— passerby51

Tahmin / umut, veya ile G (n, p) demek için . Ben yazım ilgili orijinal yazımda fark ettim . Bunun için üzgünüm. Ortalama derece değil olarak büyüyor .

(max N) / n = o (1)

$(\max N)/n = o(1)$

p (\log n) / n

$p ~ (\log n) / n$

p (\log n)^{1 + ϵ} / n

$p ~ (\log n)^{1+\epsilon} /n$

p

$p$

\log n

$\log n$

p

$p$

— passerby51

Yanıtlar:

Buna, rasgele kısıtlama memnuniyeti problemi için keskin bir eşikte kullandığım gibi benzer bir "ikinci moment yöntemi" hesaplaması ile yaklaşabilirsiniz , Ayrık Matematik 285 / 1-3 (2004), 301-305.

Ortalama derece yeterince büyük sabit zamanlar gibi büyüdüğünde , bu yaklaşım genellikle tam olarak tatmin edilebilirlik eşiğini bulmak için yeterli olmuştur. Ayrıca, bunu araştırmamış olmama rağmen, tatmin edici olmayan bir durumda tatmin edilebilecek maddelerin bir kısmını da gösterebilir. $\log n$

Sorununuzu daha genel olanım gibi göstermek için, CNF formülündeki yan tümcelerin altında yatan özel bir grafik yapıya sahip bir "MAX-AT-LEAST-HALF-SAT" olarak görebilirsiniz. Bununla birlikte, bu özel yapının en kötü durum analizinde yardımcı olacağını düşünmüyorum ve fıkra boyutunuz üniform olmadığından ve "kötü" atama kümeniz büyüdüğünden, hesaplamadan geçip, hala çalışıyor.

— Abraham D Keten Adam
kaynak

buna bir CSP olarak bakmak, aslında bir tutarsızlık sorunu olarak bakmaktan daha uygun görünüyor

— Sasho Nikolov

Teşekkür ederim. Bu çok ilginç görünüyor. Ben içine bakacağım.

— passerby51

Yorumumla ilgili ayrıntılı bilgi vereyim. Birincisi, bu tutarsızlığa benzer, ancak elbette çeşitli şekillerde farklıdır. Bir sistem göz önüne alındığında, setleri , sistemin tutarsızlık . Hadi anlamında olabildikleri. kaç set pozitif olduğunu bilmek istediğinizden farklıdır ve tutarsızlık en kötü durumda büyüklüğünde ne kadar büyük olduğunu sorar . Hızlı bir giriş için, belki yazı notlarım yardımcı olabilir. Chazelle'nin çok fazla ayrıntıya giren güzel bir kitabı var. $m$ $S_1, \ldots, S_m \subseteq \{1, \ldots n\} = [n]$ $\min_{\sigma:[n] \rightarrow \{\pm 1\}}{\max_{j}{|\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|}}$ $\sigma(S_j) = |\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|$ $\sigma(S_j)$ $\sigma(S_j)$

Zaman kolay bir olasılıksal için alt sınır , benim yorum olarak, bir grafik verilmiştir derecesi dizisi ile , pick olabilir rastgele homojen 'leri olan tüm sekanslardan ( bağımsız değildir, ancak bu durumda bir Chernoff bağlı olduğunu kanıtlamak mümkün olmalıdır). Biz ve bir Chernoff bağlanmış ile, bazı sabit . Böylece . Yani bazı $s > n/2$ $G = ([n], E)$ $\delta_1, \ldots, \delta_n$ $\sigma$ $s$ $1$ $\sigma_i$ $E[\xi_i(\sigma)] = \delta_i s/n$ $\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$ $C$ $E[N(\sigma)] \geq n - \sum_i{\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$ $\sigma$ bu sınırı elde eder.

DÜZENLEME: davası ile ilgilendiğinizi düşünüyoruz . Bir önceki paragrafta olduğu gibi rastgele seçelim . Değiştirmeden örnekleme için merkezi sınır teoreminin bir sürümünü kullanarak ( , grafiğin köşelerinden değiştirilmeden boyutunda bir örnektir ), ortalama bir Gauss gibi davrandığını gösterebilmelisiniz ve ilgili varyans , bu yüzden bazı C ve merkezi limit teoreminden bir hata parametresi. Biz olmalıdır $s < n/2$ $\sigma$ $\sigma$ $s$ $\xi_i(\sigma)$ $\delta_i (2s/n - 1)$ $\delta_i$ $\Pr[\xi_i(\sigma) \geq 0] =\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2) \pm \eta(n)$ $\eta(n)$ $n\eta(n) = o(n)$ , . $N(\sigma) \geq \sum_{i}{\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2)} - o(n)$

Feragatname: Bu sadece sabit / küçük veya çok yakınsa anlamlıdır . Ayrıca hesaplamalar biraz sezgiseldir ve çok dikkatli bir şekilde yapılmamıştır. $\delta_i$ $s/n$ $n/2$

— Sasho Nikolov
kaynak

Güzel bağlantılar ve tartışma için teşekkür ederim. Olasılıkla tartışmayı seviyorum, ama sanırım sınırında bir sorun var. Bunu, olması gereken ayarlayarak görebilirsiniz . Görünüşe göre bu yanlış giden şeydir: belirtilen setten rasgele olarak , her prob vardır. ve prob olmanın değeri . ve olma . Bu nedenle, için negatiftir ...

s = 0

$s = 0$

P r [ξ_{i} (σ) < 0] = 1

$Pr[\xi_i(\sigma) < 0] = 1$

σ

$\sigma$

σ_{j}

$\sigma_j$

γ := s / n

$\gamma := s/n$

+ 1

$+1$

1 - γ

$1-\gamma$

- 1

$-1$

E [ξ_{i} (σ)] = (2 γ - 1) δ_{i}

$E[ \xi_i(\sigma)] = (2\gamma-1) \delta_i$

γ \in (0, 1 / 2)

$\gamma \in (0,1/2)$

— passerby51

bağımsız ve kesinlikle biz Hoeffding eşitsizliği demek kullanamaz konuşma olmayacak. Ama bize bu küçük ayrıntıyı göz ardı edip onları Ardından olacağını bağlı IID varsayalım izin için geçerlidir . Biz ayarlanamaz için .

{σ_{j}}

$\{\sigma_j\}$

P r [\frac{1}{δ_{i}} ξ_{i} (σ) < - t + 2 γ - 1) \leq \exp (- δ_{i} t^{2} / 2)

$Pr[ \frac{1}{\delta_i} \xi_i(\sigma) < -t + 2\gamma - 1) \le \exp ( -\delta_i t^2/2)$

t \geq 0

$t \ge 0$

t = 2 γ - 1 < 0

$t = 2\gamma - 1 < 0$

P r [ξ_{i} (σ) < 0]

$Pr[\xi_i(\sigma) <0]$

— passerby51

üzgünüm, ben belirtmeliydim: burada varsayım . aksi halde bu bir anlam ifade etmez ve Berry-Esseen gibi daha güçlü bir şeye ihtiyacınız vardır. aslında bağımsız olduğu varsayılabilir düşünüyorum

s > n / 2

$s > n/2$

σ_{j}

$\sigma_j$

— Sasho Nikolov

@ passerby51, olasılık sınırını değerine uzatmak için merkezi limit teoreminin nicel bir versiyonunu nasıl kullanmaya çalışabileceğinizi gösteren bir çizim ekledi .

s / n < 1 / 2

$s/n < 1/2$

— Sasho Nikolov