Başarıyla çözülmüş olan Collatz varsayımına “en yakın” sorun nedir?

Başarıyla çözülen Collatz varsayımına "en yakın" (ve "en karmaşık") problemle ilgileniyorum (Erdos'un ünlü olarak "matematik bu tür problemler için henüz olgun değil"). "Collatz benzeri" problemlerin bir sınıfının kararsız olduğu kanıtlanmıştır. Bununla birlikte, Hofstadter'ın MIU oyunu (çözüldü, ancak kuşkusuz daha fazla oyuncak problemi) gibi belirsiz bir şekilde benzer olan problemler gerçekten de karar verilebilir veya çözüldü.

İlgili sorular

Collatz Conjecture ve Dilbilgileri / Automata

— vzn
kaynak

Bu HTML ve LaTeX olmadığından, referansları uygun oldukları yerde sıralarsanız daha kolaydır.

— Suresh Venkat

TCS / Collatz / Refs'de Ampirik Açılar

— VZN

Sorunuzun benzersiz cevabı "Collatz varsayımı" olduğunu iddia eden en az bir kişi var. Bağlantılı ispatın bütünlüğüne şüpheliyim, ama henüz analiz etmek için yeterince zaman harcamadım.

— Boyd Stephen Smith Jr.

fyi, Michel tarafından, genel bir teorik çerçeveye kararsızlığı bağlayan alanı , yoğun kunduz rekabetinden sayı teorisindeki sorunları

— araştıran yeni bir makale

Yanıtlar:

Genişletilmiş yorum:

Collatz benzeri diziler, az sayıda sembol ve duruma sahip küçük Turing makineleri tarafından hesaplanabilir . P. Michel (2004) tarafından yapılan " Küçük Turing makineleri ve genelleştirilmiş yoğun kunduz yarışmasında ", karar verilebilir TM'ler (durdurma sorununun karar verilebilir olduğu) ve Universal TM'ler arasında Collatz benzeri sorunları konumlandıran güzel bir tablo var.

resim açıklamasını buraya girin

Karar verilebilirliğinin hala açık bir problem olduğu Collatz benzeri dizileri hesaplayan TM'ler vardır: , ve (burada settir Turing makinesi ile durumları ve ) sembolleri. Sonuçların onaylanıp onaylanmadığını bilmiyorum. $TM(5,2)$ $TM(3,3)$ $TM(2,4)$ $TM(k,l)$ $k$ $l$

Makalenin yazılmasından itibaren:

... Mevcut Collatz benzeri hat, hariç, mümkün olan en düşük seviyededir , ancak bu setteki tüm makinelerin karar verilebilir olduğu kanısındayız ... $TM(4,2)$

Ayrıca bkz . D. Woods ve T. Neary (2007) tarafından yazılan " Küçük evrensel Turing makinelerinin karmaşıklığı: bir anket ".

Karar verilebilirliğinin açık bir sorun olduğu Collatz benzeri sorunun bir başka örneği Post'un etiket sistemidir: ; Son zamanlarda yapılan analizler için L. De Mol (2009) tarafından yazılan " Etiket sistemlerinde çözülebilirlik ve çözülemezlik sınırları hakkında. Teorik ve Deneysel Sonuçlar " bölümüne bakınız . $\mu = 2, v=3,0\rightarrow 00, 1 \rightarrow 1101$

— Marzio De Biasi
kaynak

Cevabı tamamlamak için: Conway kararsız olan ams.org/mathscinet-getitem?mr=392904 olan Collatz benzeri diziler olduğunu gösterdi . yani kollatz benzeri bir dizinin kendisi evrensel bir tur makinesini simüle edebilir.

— Sasho Nikolov

Teşekkür! Mitchell anketi / sonuçları çok güzel! Tablodaki açıklama neticesinde, bir hücredeki "T", collatz varsayımına eşdeğer bir TM (k, l) var olduğunu gösterir. bakış açısı aynı zamanda collatz varsayımının sadece yalıtılmış bir teorik merak değil, aynı zamanda hesaplanabilirlik teorisinde daha derin bir şeyin yüzey fenomeni olduğunu da göstermektedir. ps de çok kez herhangi bir kez açık "sorunlar gibi collatz" çözülmüşse ilgilenen ...?

— vzn

işlevini düşünün; burada çift olduğunda ve tek olduğunda . Daha sonra herhangi bilinmektedir , orada bulunan bir , öyle ki . $T: \mathbb N \rightarrow \mathbb N$ $T(n)=n/2$ $n$ $T(n)=n+1$ $n$ $n \in \mathbb N$ $k \in \mathbb N$ $T^{(k)}(n)=1$

Eğer yerine , biz garip tanımlanmış olan edilir zaman bu Collatz en yakın sorun olduğunu düşünüyorum çok garip, biz Collatz Hipotezi'ni, olurdu Daha önce çözülmüş olan varsayım. $T(n)=n+1$ $n$ $T(n)=3n+1$ $n$

— Craig Feinstein
kaynak

Motive edici bir ilkokul öğrencisi, ifadenizin kanıtının arkasındaki temel fikri biraz düşünce ile tanımlayabildiğinden, bu sorunun sorunun en karmaşık kısmını tatmin ettiğini düşünmüyorum.

— Yonatan N

Ancak daha karmaşık ve hala çözülmüşse, artık Collatz Konjonktürüne benzemez. Ayrıca, sorusunun başlığı “en karmaşık” yerine “en yakın” a öncelik verdiğini göstermektedir.

— Craig Feinstein