“Renklendirme matrisleri” nin varlığı

9

Düzenleme: Şimdi bu gönderiyle ilgili bir takip sorusu var .

Tanımlar

Let ve tamsayı olmak. gösterimini kullanıyoruz . $c$ $k$ $[i] = \{1,2,...,i\}$

Bir matrisi bir olduğu söylenir -to- boyama matris şu tutar ise: $c \times c$ $M = (m_{i,j})$ $c$ $k$

Elimizdeki tüm , $m_{i,j} \in [k]$ $i, j \in [c]$
ve ile tüm için . $i,j,\ell \in [c]$ $i \ne j$ $j \ne \ell$ $m_{i,j} \ne m_{j,\ell}$

Biz yazma bir mevcutsa -to- renklendirme matris. $c \leadsto k$ $c$ $k$

Diyagonal elemanların ilgisiz olduğuna dikkat edin; sadece köşegen olmayan unsurlarıyla ilgileniyoruz $M$ .

Aşağıdaki alternatif perspektif yararlı olabilir. Let $R(M,\ell) = \{ m_{\ell,i} : i \ne \ell \}$ aralıksız olmayan çapraz elemanlar kümesi $\ell$ ve benzer şekilde izin $C(M,\ell) = \{ m_{i,\ell} : i \ne \ell \}$ sütununda diyagonal olmayan öğeler kümesi olabilir . Şimdi a, -to- boyama matris IFF tüm için . Yani, satır sütun ve sütun farklı öğelerden oluşmalıdır (elbette diyagonalde hariç). $\ell$ $M$ $c$ $k$

R (M, ℓ) \subseteq [k], C (M, ℓ) \subseteq [k], R (M, ℓ) \cap C (M, ℓ) = \emptyset

$R(M,\ell) \subseteq [k], \quad C(M,\ell) \subseteq [k], \quad R(M,\ell) \cap C(M,\ell) = \emptyset$

ℓ \in [c]

$\ell \in [c]$

ℓ

$\ell$

ℓ

$\ell$

Olabilir veya yorumlamaya çalışmaktan yararlı olmayabilir den hash fonksiyonu özel bir tür olarak için . $M$ $[c]^2$ $[k]$

Örnekler

Burada a, -to- boyama matrisi: $6$ $4$

[\begin{matrix} - & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & - & 3 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 4 & - & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 & - & 3 & 2 \\ 4 & 2 & 2 & 4 & - & 2 \\ 3 & 4 & 3 & 4 & 3 & - \end{matrix}] .

$\begin{bmatrix} -&2&2&1&1&1\\ 3&-&3&1&1&1\\ 4&4&-&1&1&1\\ 3&2&2&-&3&2\\ 4&2&2&4&-&2\\ 3&4&3&4&3&- \end{bmatrix}.$

Genel olarak, herhangi bir için olduğu bilinmektedirÖrneğin, ve . Bunu görmek için, aşağıdaki yapıyı kullanabiliriz (örneğin, Naor ve Stockmeyer 1995). $n \ge 2$

(\binom{2 n}{n}) ⇝ 2 n .

${2n \choose n} \leadsto 2n.$

20 ⇝ 6

$20 \leadsto 6$

6 ⇝ 4

$6 \leadsto 4$

Let ve let . Let bir bijection olmak tüm setine arasında -subsets , olduğu vetüm için . ile her biri için keyfi olarak $c = {2n \choose n}$ $k = 2n$ $f$ $[c]$ $n$ $[2n]$ $f(i) \subseteq [2n]$ $|f(i)| = n$ $i$ $i,j \in [c]$ $i \ne j$

m_{i, j} \in f (i) ∖ f (j) .

$m_{i,j} \in f(i) \setminus f(j).$

Not bu . Yapının gerçekten bir renklendirme matrisi olduğunu doğrulamak kolaydır; özellikle, ve . $f(j) \setminus f(i) \ne \emptyset$ $R(M,\ell) = f(\ell)$ $C(M,\ell) = [k] \setminus f(\ell)$

Soru

Yukarıdaki yapı uygun mu? Aksi takdirde, herhangi bir için mı?

(\binom{2 n}{n}) + 1 ⇝ 2 n

${2n \choose n} + 1 \leadsto 2n$

n \geq 2

$n \ge 2$

Yukarıdaki yapının asemptotik olarak sıkı olduğu iyi bilinmektedir; mutlaka . Bu, örneğin Linial'in (1992) sonucundan veya Ramsey teorisinin basit bir uygulamasından kaynaklanmaktadır. Ama bana göre, yapının sabitlere de sıkı olup olmadığı açık değil. Bazı sayısal deneyler, yukarıdaki yapının optimal olabileceğini düşündürmektedir. $k = \Omega(\log c)$

Motivasyon

Soru, grafik renklendirme için hızlı dağıtılmış algoritmaların varlığıyla ilgilidir. Örneğin, yönlendirilmiş bir ağaç (tüm kenarlara bir kök düğüme yönlendirilmiş) verildiğini ve ağacın uygun bir rengini verdiğimizi varsayalım . Şimdi uygun bir hesaplar dağıtılmış algoritma var içinde ağacın boyama ancak ve ancak senkron iletişim turda . $c$ $k$ $1$ $c \leadsto k$

co.combinatorics lower-bounds dc.distributed-comp

— Jukka Suomela
kaynak

Ekrandaki matematikte “alternatif perspektifte” [c] [k] okunmalıdır. Ardından gelen satırda “[k] 'deki tüm l \” için “[c] içindeki tüm l \ için” okunmalıdır.

— Tsuyoshi Ito

9

Yapı, tutamayacağı anlamında en uygunudur . Gerçekten de, bu görmek kolaydır c -to- k boyama matrisi vardır, ancak ve ancak mevcut c alt grupları A ₁ , ..., bir _Cı- kümesinin {1, ..., k } öyle ki herhangi bir belirgin i ve j, tatmin bir _i ⊆ A _j . (“Yalnızca eğer” yönü için, c- to- k renklendirme matrisi için A _i = R ( M , i ) alın $\binom{2n}{n}+1 \leadsto n$ M . “Eğer” yönü, set için m _ij ∈ A _i ∖ A _j setleri.) Bir ailenin hiçbiri başka bir denir içeren Sperner ailesi ve Sperner teoremi olduğunu bir Sperner ailede setleri en fazla sayı boyut evrenini k olan . Bu, . $\binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$ $c \leadsto k \iff c \le \binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$

— Tsuyoshi Ito
kaynak

1

Ah, doğru, satırların bir Sperner ailesi oluşturmak zorunda görüneceğini düşündüm, ama nasıl kanıtlayacağını görmedim. Ama kesinlikle haklısın: Biz varsa sonra, ve bu nedenle . Çok kolaydı, çok teşekkürler!

R (M, i) \subseteq R (M, j)

$R(M,i) \subseteq R(M,j)$

m_{i, j} \in R (M, i) \subseteq R (M, j)

$m_{i,j} \in R(M,i) \subseteq R(M,j)$

C (M, j) \cap R (M, j) \neq \emptyset

$C(M,j) \cap R(M,j) \ne \emptyset$

— Jukka Suomela

0

Biraz daha sıkı bir asimptotik için şu kanıtlanabilir:

açarsa , $c \leadsto k$ $c \leq 2^k$

renklerini kullanarak matrisinin renklendirildiğini varsayın . Şimdi, matristeki her satırı içerdiği renklerle renklendirin. Bu, alt kümeleri kullanılarak satırların renklendirilmesini sağlar . Farklı satırların farklı renkleri olmalıdır. Aksi takdirde, söz konusu varsayalım , satır satır aynı renge sahiptir . Aracının rengi, iki sıra mevcut olduğu ve kolon bir boyama ile başladı gerçeğini çelişmektedir. Aşağıdaki $c \times c$ $k$ $[k]$ $i \lt j$ $i$ $j$ $(i,j)$ $j$ $j$ $c \leq 2^k$

— hBM
kaynak

Analizinizin neyi daha sıkı olduğunu iddia ettiğinizden emin değilim, ancak kesin sınır için lütfen cevabımı görün.

— Tsuyoshi Ito