P, varlığı PA veya ZFC'den bağımsız olan dilleri içeriyor mu? (TCS topluluk wiki'si)

Cevap: bilinmiyor.

Sorulan sorular doğal, açık ve görünüşte zor; şimdi soru bir topluluk wiki'sidir.

genel bakış

Soru karmaşıklık sınıfına ait  dilleri - bu dilleri kabul eden Turing makineleri (TM) ile birlikte iki tamamlayıcı alt sınıfa ayırmayı amaçlamaktadır :$P$

• gnostik diller ve TM'ler (doğrulamak / anlamak mümkün)
• şifreli diller ve TM'ler (doğrulamak / anlamak mümkün değildir).

Tanımlar: gnostik vs şifreli sayılar, TM'ler ve diller

PA ve ZFC aksiyom çerçeveleri içinde, gnostikleri şifreli Turing makinelerinden ve dillerden aşağıdaki gibi ayırıyoruz:

D0   Diyelim ki, gerçek bir  sayısı gnostik ise boş olmayan bir dizi TM ile ilişkiliyse, her TM, PA'da evrensel bir TM üzerindeki geçerli kodu içeren sayıların açık bir listesi olarak belirtilir, böylece herhangi bir doğruluk için bir çıkış numarası olan bir giriş (ZFC olarak) kanıtlanmıştır her TM duraklamalara olarak temin (ZFC olarak) kanıtlanmıştır ye uyan .ϵ > 0 o r - ϵ < o < r + $r$$\epsilon\gt0$$o$$r-\epsilon\lt o\lt r+\epsilon$

Yorum   Bazı hesaplanabilir gerçeklerin gnostik olmadığı bilinmektedir (somut bir örnek için Raphael Reitzig'in jkff'in " Yapıcı olmayan algoritma varlığına dair kanıtlar var mı? " Sorusuna verdiği cevaba bakınız ). Bu hesaplanabilir ancak garip sayılarla boğuşmayı önlemek için, kısıtlama, çalışma zamanı üslerinin PA'da açıkça numaralandırılmış TM'ler (ZFC'de örtük olarak belirtilen TM'lerin aksine) tarafından hesaplanabileceği kabul edilir. Daha fazla tartışma için Tanımlayıcı hususlar (aşağıda) bölümüne bakınız.

Şimdi, karmaşıklık sınıfı , hiçbir (gnostik) çalışma zamanı üst sınırının alt sınırının atanamayacağı şifreli dillerin bir alt kümesini içerdiği sezgiyi yakalayan tanımları arıyoruz . $P$

İleriye bakacak olursak, sonuç tanımı ( D5 ) , tanımı, (gereksiz olarak) hesaplamalı gereksiz epi-hesaplamaları üst üste bindirerek şifreli hesaplamaları maskeleyen azalmaları ortadan kaldırmak amacıyla hazırlanmış kanonik olarak şifrelenmiş bir karar TM fikrini belirtir . Bu temel tanımın mantığı ve kaynakları - Tanımlayıcı Düşünceler başlığı altında - daha sonra tartışılmakta  ve Timothy Chow, Peter Shor, Sasho Nikolov ve Luca Trevisan tarafından yapılan yorumların katkıları minnetle kabul edilmektedir.

D1   Tüm giriş dizeleri için durdurulan bir Turing makinesi M verildiğinde , aşağıdaki ifade en az bir gnostik gerçek sayı için ne kanıtlanabilir ne de reddedilirse  M şifreli olarak adlandırılır :$r \ge 0$

Açıklama: M'nin çalışma süresi giriş uzunluğuna göre${O}(n^r)$$n$

Dediğimiz gibi şifreli olmayan turing makineleri gnostik TM'lerdir.

D2   Bir karar Turing makinesi M olduğunu söylemek etkili bir gnostic çalışma zamanı üs sahip IFF  M kabul ettiği dili L daha gnostic zamanı üs küçük olan başka bir TM tarafından kabul edilir şekilde  .$r$$r$

D3   L dilinin şifreli olduğunu, (a)  en az bir Turing makinesi M tarafından kabul edildiğinde hem verimli hem de şifreli olduğunu ve ayrıca (b)  hem verimli hem de gnostik olarak kabul edilebilir TM'yi kabul etmediğini söylüyoruz.

D3'ü başka bir şekilde ifade etmek için, bu dili en verimli şekilde kabul eden TM'ler kendileri şifreli ise, bir dil şifrelenir.

Dediğimiz gibi şifreli olmayan diller gnostik dillerdir.

D4   Şifreli bir TM'nin, kabul ettiği dil şifreli olduğu takdirde güçlü bir şekilde şifreli olduğunu söylüyoruz .

D5   Kuvvetli bir şifreli TM'nin verimli olduğu durumlarda kanonik olarak şifreli olduğunu söylüyoruz .

D5'i başka bir şekilde ifade etmek gerekirse , her şifreli dil, o dili kabul eden en etkili karar TM'ler olan bir dizi kanonik şifreli karar TM tarafından kabul edilir.

Sorulan sorular

Aşağıdaki varsayım C0 doğaldır ve (görünüşe göre) açıktır:

C0   Karmaşıklık sınıfı P en az bir şifreli dil içerir.

Üç soru, sorulur Q1 - Q3 : İlk olduğu,

Q1   mı C0 PA veya ZFC ait varsayım bağımsız?

Varsayımı altında C0 ya kanıtlanabilir ZFC içinde veya ZFC tamamlayan bağımsız aksiyom olarak - - doğrudur iki Başka sorum doğal şunlardır:

Q2   Can en az bir şifreli dil P , somut olarak sunulacak yani herhangi belirtilen uzunluğa tüm kelimeleri içeren bir sonlu alfabesinde açık kelimelerin bir sözlük olarak sergilenen? Öyleyse, böyle bir sözlük sergileyin.

S3   En az bir kanonik şifreli karar TM somut olarak sunulabilir, yani Q2 sözlüğünün tüm kelimelerine karar veren (polinom zamanda) fiziksel bir Turing makinesi oluşturmak için etkin bir açıklama olarak ? Bu durumda, bu tür bir Turing makinesi yapısı ve bununla hesaplanmasıyla, şifreli dil sözlüğünü sergileyen Q2 .

Tanımlama hususları

Tanım D0 , her bir gnostik gerçek sayının hesaplanabilir olduğunu ima eder, ancak bazı hesaplanabilir gerçek sayıların gnostik olmadığı bilinmektedir . Örnekler için, ilgili yanıtları görmek MathOverflow tarafından Michaël Cadilhac ve Ryan Williams ve üzerinde TCS Stack Exchange tarafından Raphael Reitzig . Daha genel olarak, D0 – D5 tanımları, gnostik olmayan çalışma zamanı üslerine referansları hariç tutmak için hazırlanmıştır.

TCS wiki " P anlaşılmaz diller içeriyor mu? " Bölümünde tartışıldığı gibi, D0 – D5 tanımları her şifreli dilin kanonik olarak şifrelenmiş en az bir TM tarafından kabul edilmesini sağlar. (Ayrıca mevcut soruda "şifreli" kelimesinin, wiki'de kullanılan "anlaşılmaz" kelimesinin daha az açıklayıcı kelimesinin yerini aldığını unutmayın).

Dahası - D3 (a) ve D3 (b) göz önüne alındığında  - kanonik olarak şifrelenmiş bir TM'nin aynı dili kanıtlayan bir gnostik TM'ye hesaplama açısından önemsiz bir azalması yoktur. Özellikle, D3, (a) ve D3 (b) engel polylimiter göre açıklamalarda özetlenen azaltma stratejileri Peter Shor ve ile Sasho Nikolov , ve bağımsız olarak Luca Trevisan ve engelleyen çok polynomially hızında azalma stratejisi Timothy Chow tüm bunların benzerleri, hesaplamalı olarak gereksiz epi-hesaplamayı kaplayarak şifreli hesaplamaları gizler .

Genel olarak, "gnostik" ve "şifreli" tanımları, matematiksel olarak önemsiz indirimler açısından sağlam olacak şekilde kasten ayarlanmıştır (ve bu tanımların daha fazla ayarlanması arzu edilebilir).

Metodolojik düşünceler

Lance Fortnow'un incelemesi " P'ye karşı NP sorununun durumu " karmaşıklık teorisindeki varsayımların bağımsızlığını (veya başka bir şekilde) belirleme yöntemlerini araştırır; Lance'in gözden geçirdiği yöntemlerin birinci çeyreğe cevap vermesine nasıl yardımcı olabileceği (ya da olmayacağı) konusunda özellikle istenen önerilerdir .

Daha birçok sorunun doğal olduğu açıktır. Örneğin, Hartmanis-Stearns Conjecture bize "Şifreli gerçek zamanlı çok bantlı Turing makineleri var mı? Varlıkları PA veya ZFC'den bağımsız mı?

Zeilberger tipi düşünceler

Q1'in "evet" ile cevaplanması durumunda, üyeliğine karar veren kehanetler PA veya ZFC dışında bulunur ve bu nedenle, modern karmaşıklık teorisinin temel bir unsurunun (şu anda) herhangi bir resmi sistemde bulunduğu bilinmemektedir. mantık. $P$

Bu açıdan karmaşıklık teorisi çoğu matematiksel disiplinden farklıdır, öyle ki Doron Zeilberger'in son " Görüşü 125: Alan Turing 100 yaşında döndüğünde şimdi Seminal Katkılarına Yeni Bir Bakış Yapmanın zamanı geldi. , bu birçok İyi Ama Aynı zamanda Çok Zarar Verdi "tartışmalı bir şekilde sağlam temellere sahiptir.

Zeilberger'in endişeleri  , aşağıdaki ölçütle eşdeğer olan Z0   (! Q1  ) && (! C0 ) kriteri olarak açık bir şekilde ortaya çıkmaktadır :$\equiv$

Z0:   Zeilberger en duyarlılık kriter   karmaşıklığı sınıf tanımları P   denir Zeilberger-mantıklı tüm diller iff P kanıtlanabilir gnostik bulunmaktadır.

Şu anda Stephen Cook'un P karmaşıklık sınıfı tanımının   Zeilberger'e duyarlı olup olmadığı bilinmemektedir .

Motivasyonel düşünceler

"Gnostik" ve "şifreli" tanımları (nihayetinde) aşağıdaki gibi varsayımlara karar vermeye yönelik olarak hazırlanmıştır:

C1-   Let ve arasında gnostic kısıtlamalar ve resp. O zaman PA veya ZFC'de kanıtlanabilir veya reddedilebilir. N P ′ P N P P ′ ≠ N P $P'$$NP'$$P$$NP$$P' \ne NP'$

C2  (PA veya ZFC'de açıkça kanıtlandığı gibi)$P' \ne NP'$

Açıkça C2  C1 ve tersine (meta) teorem C1'in bir kanıtının (daha güçlü) teorem C2'nin bir kanıtı için rehberlik sağlayabileceği düşünülebilir .$\to$ 

Genel motivasyon, gnostik ve şifreli TM'ler ve diller arasında iyi ayarlanmış bir ayrım için, C1 ve hatta muhtemelen C2'nin bir kanıtı aydınlatılabilir ve hatta karşılaştırılabilir pratik imalara sahip olabilir - muhtemelen çok daha sert ve daha derin kanıtı . $P\ne NP$

Juris Hartmanis, bu soruşturmayı ciddiye alan ilk karmaşıklık teorisyenleri arasındaydı; bakınız Hartmanis monografı Fiziksel Hesaplamalar ve Sağlanabilir Karmaşıklık Özellikleri (1978).

Nomenklatural hususlar

Oxford İngilizce Sözlüğü'nden (OED):

• gnostik (adj)  Bilgiye ilişkin; bilişsel; entelektüel   "Onlar [sayılar] hayati, gnostik ve spekülatif bir biçimde var olurlar, fakat işlevsel bir şekilde değiller."

• şifreli (adj)  Hemen anlaşılamaz; gizemli, esrarengiz   "İnsanlık için yararlı olan düz Kurallar yerine, [filozoflar] cruptick ve karanlık Cümleleri doldururlar."

Görünüşe göre hiçbir Matematiksel İnceleme daha önce hiçbir anlamda "gnostik" kelimesini kullanmamıştır. Bununla birlikte, Marcus Kracht'ın OED duygusunu kullanan son makalesi “ Gnosis ” ( Journal of Philosophical Logic , MR2802332) dikkat çekiyor.

Görünüşe göre hiçbir Matematiksel İnceleme karmaşıklık teorisi ile ilgili olarak "teknik anlamda" "şifreli" kelimesini kullanmamıştır. Bununla birlikte, Charles H. Bennett'in pasajı içeren " Mantıksal Derinlik ve Fiziksel Karmaşıklık " ( Universal Turing Machine: Bir Yarım Yüzyıl Araştırması , 1988) makalesine dikkat çekilmektedir.

Bir nesne ile ilişkili bir başka karmaşıklık, nesne göz önüne alındığında, onu açıklamak için makul bir hipotez bulma zorluğu olacaktır. Bu tür karmaşıklığa sahip nesneler "şifreli" olarak adlandırılabilir : nesne için makul bir köken bulmak bir kriptogramı çözmek gibidir.

Doğallık, açıklık ve zorluk hususları

Bu soruların doğallığı, Juris Hartmanis'in monograf Uygulanabilir Hesaplamaları ve Sağlanabilir Karmaşıklık Özelliklerinin (1978) şu tezini göstermektedir :

"Yalnızca resmi olarak kanıtlanabilecek hesaplamaların özelliklerini göz önüne alırsak, algoritmaların karmaşıklığıyla ilgili sonuçlar oldukça kökten değişir."

Bu soruların açıklığı ve zorluğu, Lance Fortnow'un " P Versus NP Probleminin Durumu " (2009) adlı incelemesinin sonucuyla geniş ölçüde uyumludur :

Diyerek şöyle devam etti: "Hiçbirimiz P'ye karşı NP sorununu gerçekten anlamıyoruz, bu giderek karmaşık sorunun etrafındaki katmanları soymaya başladık."

Wiki kılavuzu

Özellikle Q1 – Q3 soruları ile ilgili ve Hartmanis tipi C1-C2 varsayımlarını geniş bir şekilde aydınlatan tanım ayarlamaları ve ispat stratejileridir .

Burada sorduğunuz soru ile ilgili temel bir zorluk olduğunu düşünüyorum (ve ilgili sorunuzda anlaşılmaz diller hakkında sordunuz).

$L$

$L\in P$$L\in P$

$L$$L$$L$$L$$L'$$L$$L$$L$$\phi(x)$$x\in L$$L$

$L$$P$$P$$L\in P$$L$

$L$$L$$L$

$x$$x$

$P$

$P\ne NP$$P$$P$$P$$P$$P$

S1: $\:$
S2 yok :$\:$ Evet, en az iki-iki-bir-ikili

Lemma: $\:$ En az 1 olan hesaplanabilir çalışma zamanı üssüne sahip her TM aşkındır.

İspat:
A ve B özyineli olarak ayrılmaz kümeler olsun .$\:$$M_0$$\:$$M_1$$\;\;$$\langle r_0,r_1,r_2,r_3,...\rangle$$M_0$$M_1$$r_m$$\:m\in A\:$ D1'in ifadesi doğrudur] ve [eğer $\:m\in B\:$ D1'in ifadesi yanlıştır]. $\;\;$$\langle r_0,r_1,r_2,r_3,...\rangle$$r_m$$\:$Bu nedenle Turing makinesi aşkındır.


Tanım:
en azından en az iki-1s-in-ikili, ikili
gösterimi en az iki 1'e sahip negatif olmayan tamsayılardır .$\:$ (Bahse asla tahmin edemezdin ^ _ ^)

Tanım:
M,
girdisinin ikili sunumunu tarayan, en az iki 1s bulursa kabul eden ve aksini reddeden Turing makinesidir .

Açıkçası, M en az iki-1-in-binary'ye karar verir ve çalışma zamanı üssü 1'e sahiptir ve daha küçük bir çalışma zamanı üssü olan başka bir Turing makinesi de en az iki-1-in-binary'ye karar vermez.
Önemsiz bir şekilde,$\: 1\leq 1 \:$$1$$\;\;$Lemma tarafından, M etkili ve aşkındır.
Bu ikili ortalama en az iki-1-in-ikili de aşkındır.

Bu nedenle, TPCCC, PA (ve ZFC) teoremidir ve
en az iki-1-in-ikili, somut bir aşkın dildir.

$x_n := 2 + \sum_{i=0}^n [1/2^i \mbox{ if $i$ encodes a proof that $\bf{ZF}$ is inconsistent, and 0 otherwise}]$$n$$x_n$$x_n$$x := 2 + \sum_{i=0}^\infty [1/2^i \mbox{ if $i$ encodes a proof that $\bf{ZF}$ is inconsistent, and 0 otherwise}]$

$x$$\bf{ZF}$

$x > 1$$M'_x$$n$$N$$s$$N$$s$$|s|^x/\log(|s|)$$x$$M_x$$M'_x$$M_x$$M_x$$\mathcal O(|s|^y)$$y\ge x$$M_x$

$x$$M_x$$\mathcal O(|s|^2)$$x = 2$$\bf{ZF}$$\bf ZF$$\bf ZF$$M_x$$\bf ZF + Con(\bf ZF)$

$\bf ZF + \not Con(\bf ZF)$$\bf P$$\bf ZF$$\mathcal O(|s|^z)$$z$$\bf ZF$

$M_x$