Sabit derinlikli formüller için alt sınırlar?

21

(Polinom büyüklüğü) sabit derinlikli devrelerin sınırlamaları hakkında çok şey biliyoruz. (Polinom büyüklüğü) sabit derinlikteki formüller daha da sınırlı bir hesaplama modeli olduğundan, AC ^0'da bulunmadığı bilinen tüm problemler sabit derinlikli bir formül ile de hesaplanamaz. Ancak, daha kolay bir model olduğundan, bu modelde hesaplanabilir olmadığı bilinen daha fazla sorun olduğunu tahmin ediyorum. Bu okudu mu? (Sanırım öyleydi, ancak muhtemelen doğru arama terimlerini kullanmıyorum.)

Spesifik olarak şu soruya ilgi duyuyorum: S büyüklüğünde bir AC ⁰ devresiyle hesaplanabilen f işlevi var mı , ancak S'de en az ikinci dereceden veya S'de süper polinom olan sabit derinlikli bir formül gerekiyor mu? Bu tür en iyi bilinen sonuç nedir?

Sabit derinlikli formülle neyi kastettiğimin net olmadığı durumda, bir ağaç olarak yazdığınızda (iç düğümler AND / VEYA / DEĞİL olan kapılarla ve girişler bırakarak), o zaman bu ağaç sabittir. yükseklik. Eşdeğer olarak, sabit derinlikli bir formül, tüm giriş kapıları, 1 nolu fana sahip olan sabit bir derinlik devresidir.

cc.complexity-theory circuit-complexity lower-bounds

— Robin Kothari
kaynak

11

Sabit derinlik devresini, aynı derinlikteki sabit derinlik formülüne, polinom büyüklüğünün artmasıyla, bir kereden fazla kullanılan kapıların kopyalarını yaparak dönüştürmek kolaydır. Devrenin derinliği ve boyutu ise, formül derinliği ve . Bu nedenle cevap hayır. $d$ $O(p(n))$ $d$ $O((p(n))^d)$

— Kaveh
kaynak

5

Bu, boyutta ikinci dereceden fazla bir artış sağlar. (Her ne kadar, süper polinom artışı olmasa da, tabii ki.)

— Iddo Tzameret

2

Cevap için teşekkürler. Sabit bir derinlik S devresine sahip, ancak S ^ 2 veya S ^ 10, vb. Formülüne ihtiyaç duyan belirli bir f fonksiyonu hakkında bir fikriniz var mı?

— Robin Kothari

3

Derinlik ve devre büyüklüğü arasındaki ilişkinin hala açık olduğunu düşünüyorum ("derinlik" in formül boyutunda teta olduğu bilinmektedir). Açık formül büyüklüğü alt sınırlarına sahip bazı fonksiyonlar için Wegener'ın "Boolean fonksiyonların karmaşıklığı" kitabındaki bölüm 7 ve 8'e bakınız. Neredeyse ikinci dereceden artış gösteren bir tane var (

n^{2} / l o g n

$n^2/log n$ ), daha iyi bir şey fark etmedi.

— Kaveh

17

Bu soru, Benjamin Rossman'ın ( http://eccc.hpi-web.de/report/2013/169/ ) son bir sonucu ile (sürekli faktörlere kadar) tamamen çözülmüştür .

Kaveh'in işaret ettiği gibi, derinlik , boyut , devre derinlik , boyut formülüne dönüştürülebilir. $d$ $S$ $d$ $S^d$

Rossman, bunun esasen sıkı olduğunu gösteriyor. Derinlik için , o derinliği sabit bir derinlik devresi tarafından hesaplanabilmektedir bir işlev sergiler ve boyut bile, ancak herhangi bir sabit derinlik formül (veya $d$ $d$ $S = O(n^3)$ -depth formülü)hesaplamak için boyutuna ihtiyaç duyar. $\sqrt{\log n}$ $S^{\Omega(d)}$

(Bunu daha önce de söylemeyi unuttum: Bu sonucu bana bildirdiğiniz için Benjamin Rossman'a teşekkürler.)

— Robin Kothari
kaynak