Sıfır bütünlük boşluğu, bazı problemler için sıfır dualite boşluğu anlamına mı geliyor?

Bir tamsayı programının değerleri ile ikili ("dualite boşluğu") arasındaki boşluk sıfır ise, tamsayı programının doğrusal programlama gevşemeleri ve gevşemenin ikizi arasında, her ikisinin de integral çözümleri (sıfır "integralite) kabul ettiğini biliyoruz. boşluğu "). En azından bazı durumlarda sohbetin geçerli olup olmadığını bilmek istiyorum.

Bir 0-1 tam sayı programı olduğunu varsayalım $P: \max\{1^Tx: Ax \leq 1, x\in \{0,1\}^n\}$ matris $A$ a, $0-1$ matrisi. Doğrusal programlama gevşeme varsayalım $P'$ ve $P$ tamamlayıcı en iyi çözümü vardır. Peki doğrusal programlama ikili $P'$ de ayrılmaz bir çözüm kabul ediyor mu?

Herhangi bir karşı örnek veya işaretçi takdir ediyorum.

— Ankur
kaynak

@ Yaklaşım algoritmalarının burada doğru etiket olduğundan emin değilim. hatta ds.algoritmalar

— Suresh Venkat

İlk paragrafta bir tamsayı programının ikilisi ile ne demek istiyorsun? Çok yüzlü teorinin temellerini ve özellikle doğrusal programlama gevşemelerinin tamsayı köşeleri olduğunda, Schrijver'in doğrusal ve tamsayı programlama hakkındaki kitabına bakmak faydalıdır. TUM matrisleri ve TDI eşitsizlik sistemleri sorunuzla ilgilidir.

— Chandra Chekuri

@Suresh, doğrusal programlama ve optimizasyon algoritmalara girmiyor mu?

— Kaveh

@ ChandraChekuri Tamsayı doğrusal programlardan bahsediyorum; bu nedenle ikili, zayıf ikiliğin sahip olduğu bir ILP'nin standart ikiliidir. Buradaki zorluk, (primal) LP çözeltilerinin (TUM / dengeli vb.) Bütünlüğü için yeterli koşulların, primal ve ikili LP'nin çözümlerinin görünüşte daha güçlü bir bütünlük kavramından geçtiği görülüyor. Bu, primal çözeltinin bütünlüğünün, en azından integral katsayıları için ikili çözeltinin bütünlüğünü içerip içermediğini merak etmemi sağladı. PS: Siebel'e yürüyebilirdim ve orada konuşabiliriz! Birkaç sene önce sınıfındaydım!

— Ankur

Bu özel soru şu anda sahip olduğu etiketlere daha yakın.

— Suresh Venkat

İşte iddianın karşı örneğine yakın olabilecek bir örnek.

LP ve ikili matrisi için $P = \max \{ 1^T x \,|\, Ax \leq 1, x \leq 1, x \geq 0\}$ $P' = \min \{1^Ty + 1^Tz ~|~ A^Ty + z \geq 1, ~y \geq 0, z \geq 0 \}$ $12 \times 6$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\,.$

Arasında optimum bir çözeltisi ile verilmektedir (tüm diğer değişkenler, sıfır), amaç fonksiyon değeri ile . optimum çözeltisi vektörü ile verilir . Çözmek Eğer bir tamsayıdır programı olarak, en iyi amaç fonksiyon değeri sadece ve optimal bir çözümdür. $P'$ $y_1=y_2=y_{12}=1$ $3$ $P$ $x = [0.5~0.5~0~1~0.5~0.5]^T$ $P$ $2$ $x = [1~0~0~1~0~0]$

Özetle, LP vardır bir ayrılmaz optimum çözümü, ancak ikili, ayrılmaz bir optimum çözümü yoktur. İlkel-ikili roller, Ankur'un istediği kurulumdan tersine çevrilir. Ancak LP dualitesinin doğası göz önüne alındığında, bu örnek hala orijinal talebin genel ifadesine karşı bir örnek olarak düşünülebilir. $P'$ $P$

— kbala
kaynak

Teşekkürler! Bu işe yarıyor! Bu örneği nasıl buldunuz? Çekildiği bir sorun sınıfı var mı?

— Ankur

Matris verilen Mobius şeridin sınır matrisi, bir modifikasyonudur eden kağıt uygun homolog döngülere. Son zamanlarda bu tür sınır matrisleri ile oynuyorum ve bu nedenle verdiğim örneği oluşturmak için bu matrisle doğal olarak bir şekilde başladım.

— kbala