Doğrusal bağımsız Fourier katsayıları

Vektör uzaylarının temel bir özelliği, n - d boyutundaki bir vektör uzayının d doğrusal olarak bağımsız doğrusal kısıtlamalarla karakterize edilebilmesidir - yani, d 1'den bağımsız olarak vektörler mevcuttur w, 1 , … , w d ∈ F n V ile dik olan 2 .$V \subseteq \mathbb{F}_2^n$$n-d$$d$$d$$w_1, \ldots, w_d \in \mathbb{F}_2^n$$V$

Bir Fourier açısından bakıldığında, bu gösterge fonksiyonu olduğunu söyleyen eşdeğerdir ve V olan d lineer bağımsız sıfır olmayan Fourier katsayıları. Bu Not 1 V sahip 2 d , toplam sıfır olmayan Fourier katsayıları, sadece gün bunların lineer bağımsızdır.$1_V$$V$$d$ $1_V$$2^d$$d$

Vektör uzaylarının bu özelliğinin yaklaşık bir sürümünü arıyorum. Özellikle, aşağıdaki formun bir ifadesini arıyorum:

Let boyutta 2 n - d . Daha sonra, gösterge fonksiyonu 1 S yer alır en çok d ⋅ log ( 1 / ε ) lineer bağımsız mutlak değeri Fourier katsayıları, en azından, ε .$S \subseteq \mathbb{F}_2^n$$2^{n-d}$$1_S$$d\cdot\log(1/\varepsilon)$ $\varepsilon$

Bu soru bir "Yapı mı Rastgele mi?" Perspektifinden görülebilir - Sezgisel olarak, böyle bir iddia her büyük kümenin bir vektör uzayının ve küçük bir önyargı kümesinin toplamına ayrılabileceğini söyler. Her fonksiyonunun, p o l y ( 1 / ε ) büyük Fourier katsayılarına ve küçük önyargıya sahip bir "yalancı bölüm" e sahip bir "lineer kısım" halinde ayrıştırılabileceği iyi bilinmektedir. . Benim sorum lineer kısmın sadece logaritmik sayıda lineer bağımsız Fourier katsayısına sahip olup olmadığını soruyor .$f:\mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2$$\mathrm{poly}(1/\varepsilon)$

Aşağıdaki bir karşı örnek değil mi?

Let büyük kısmının X 1 , ... , x 1 / ε 2 boyutunda bir dizi bir göstergesi olan, 2 N / 2 , böylece d = 1 . Bununla birlikte, f ( { I } ) = Θ ( ε ) için 1 ≤ i ≤ 1 / ε 2 , sahip çok 1 / ε $f(x)$$x_1, \ldots, x_{1/\epsilon^2}$$2^n/2$$d = 1$$\hat{f}(\{i\}) = \Theta(\epsilon)$$1 \le i \le 1/\epsilon^2$$1/\epsilon^2$ doğrusal bağımsız büyük Fourier katsayıları.

Belki de bazen "Chang'ın Lemması" veya "Talagrand'ın Lemması" ... "Seviye-1 Eşitsizliği" olarak adlandırılan şeyi burada istersiniz: http://analysisofbooleanfunctions.org/?p=885

Bu ise anlamına gelir ortalama sahip 2 - d sonra kare en az bir lineer bağımsız Fourier katsayı sayısını γ 2 - d en fazla bir O ( d / γ 2 ) . (Bir olmasıdır F 2 her zaman dereceye-1'e lineer bağımsız Fourier karakterleri hareket böylece girişinde -linear dönüşüm, ortalama değişmez.)$1_S$$2^{-d}$$\gamma 2^{-d}$$O(d/\gamma^2)$$F_2$