Yaklaşık derecesi

EDIT (v2): Sonunda sorun hakkında bildiklerime bir bölüm ekledi.

EDIT (v3): Sonunda eşik derecesinde tartışma eklendi.

Soru

Bu soru temel olarak referans isteğidir. Sorun hakkında fazla bir şey bilmiyorum. Bu konuda daha önce yapılmış bir çalışma olup olmadığını bilmek istiyorum ve eğer öyleyse, birisi beni bu sorun hakkında konuşan herhangi bir makaleye yönlendirebilir mi? Aynı zamanda, mevcut olan derecesinde en iyi sınırları bilmek istiyorum . Başka herhangi bir bilgi de takdir edilecektir (örneğin, tarihsel bilgi, motivasyon, diğer sorunlarla ilişki vb.).$\textrm{AC}^0$

Tanımlar

Let olduğu bir Boolean fonksiyonu. , gerçek katsayılarla, ila değişkenleri üzerinde bir polinom olsun . Bir polinomun derecesi tüm monomiallerin üzerindeki maksimum derecedir. Bir monomialin derecesi, o monomialde görünen çeşitli üstlerinin toplamıdır . Örneğin, .$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$$p$$x_1$$x_n$$x_i$$\textrm{deg}(x_1^7x_3^2) = 9$

Bir polinom bahsedilen olduğu -approximate eğer tüm . bir Boolean fonksiyonu -approximate derecesi , olarak belirtilen , bir çok terimli olduğu minimum derecesi -approximates . İşlevler bir dizi için, , en az derece her fonksiyonu şekilde olabilir en derece bir polinom ile -approximated$p$$\epsilon$$f$$|f(x)-p(x)|<\epsilon$$x$$\epsilon$$f$$\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(f)$$\epsilon$$f$$F$$\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(F)$$d$$F$$\epsilon$$d$.

Her fonksiyonun bir derece polinomuyla hatasız olarak gösterilebileceğini unutmayın . Bazı işlevler gerçekten bir derece gerekiyor herhangi sabit hata yaklaştığı polinom. Parite böyle bir işleve örnektir.$n$$n$

Sorun bildirimi

Ne ? (1/3 sabiti keyfidir.)$\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$

notlar

Bu problemle AC0'un Kuantum Sorgu Karmaşıklığı'nda Paul Beame ve Widad Machmouchi'nin makalesinde karşılaştım. Onlar söylüyor

Ayrıca, sonuçlarımız AC0 fonksiyonlarının yaklaşık derecesi üzerindeki alt sınırdaki boşluğu kapatmak için hiçbir şey yapmaz.

Kabullerinde de "AC0 derecesinin probleminden" bahsediyorlar.

Öyleyse daha önce bu konuda bir çalışma olduğunu varsayıyorum? Birisi beni sorundan bahseden bir makaleye yönlendirebilir mi? Ve en iyi bilinen üst ve alt sınırlar hangileridir?

Sorun hakkında bildiklerim (Bu bölüm, sorunun v2'sine eklenmiştir)

Bilinen üzerindeki en iyi bilinen üst sınır , önemsiz üst sınır . Bildiğim en iyi alt sınır, Aaronson ve Shi'nin çarpışma ve element farklılığı problemleri için olan alt sınırından geliyor ve bu da daha düşük bir sınırlaması veriyor . ( formül büyüklüğüne sahip formüllerde veya geçitlerine sahip derinlik-2 devrede olduğu gibi , gibi ciddi şekilde kısıtlanmış sürümleri için, üst sınırını kanıtlayabiliriz. kuantum sorgu karmaşıklığını kullanarak.)n ~ Ω (n2/3), AC0O(n,2)O(n,2)O(n$\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$$n$$\tilde{\Omega}(n^{2/3})$$\textrm{AC}^0$$o(n^2)$$o(n^2)$$o(n)$

İlgili: eşik derecesi (v3 Eklendi)

Tsuyoshi'nin yorumlarda işaret ettiği gibi, bu sorun eşik derecesini belirleme sorunuyla ilgilidir . Bir fonksiyon eşik derecesi en az bir polinom derecesi şekilde ve . fpf(x)=$\textrm{AC}^0$$f$$p$f ( x ) = $f(x)=1 \implies p(x)>0$$f(x)=0 \implies p(x)<0$

Sherstov tarafından eşik derecesi için alt sınırlar geliştirilmiştir. Derinlik sonsuzluğa giderken eşik derecesi yaklaşan değişkende sabit derinlikli okuma-okuma formülleri ailesini sergilerken , derinlik sonsuzluğa gider; ) derece . Bkz. Http://eccc.hpi-web.de/report/2014/009/ . (Oca, 2014) nΩ($\mathrm{AC}^0$$n$O($\Omega(\sqrt{n})$$O(\sqrt{n})$

Mark Bun ve Justin Thaler tarafından ECCC'de kısa süre önce (Mart 2017 ortasındaki) bu soruyu tam olarak cevaplayan bir makale yayınlanmıştır: "AC0 Yaklaşık Derecesinde Neredeyse En Uygun Bir Düşük Sınır"

Bunlar herhangi iddia ise, bir işlevi vardır içinde , öyle ki , önemsiz üst sınırı olan boşluğu neredeyse kapatıyor . Bunu, bir fonksiyonun yaklaşık derecesini alt doğrusal yaklaşık dereceyle artırmak ve değişkenlerin sayısını yarı-doğrusal tutmak için genel bir yöntemle başarırlar. Özetten:f bir Cı 0 ~ d , e g 1 / 3 ( f ) = Ω ( n- 1 - δ ) O ( n $\delta > 0$$f$$\mathrm{AC}^0$$\widetilde{\mathrm{deg}}_{1/3}(f) = \Omega(n^{1-\delta})$$O(n)$

Spesifik olarak, herhangi bir Boolean fonksiyonunun yaklaşık derece ile yaklaşık , en az derece ile üzerinde bir fonksiyonuna dönüştürmesini . Özellikle, eğer , polinom olarak den büyüktür . Dahası, eğer sabit derinlikte polinom boyutunda bir Boolean devresi tarafından hesaplanırsa, o zaman .d F $f$$d$$F$D = Ω ( n 1 / 3 · d 2 / 3 ) d = n 1 - Ω ( 1 ) D d f $O(n \cdot \mathrm{polylog}(n))$$D = Ω(n^{1/3} · d^{2/3} )$$d = n^{1−Ω(1)}$$D$$d$$f$$F$

Bu, bu sorunun alt sınırındaki en son güncellemedir ve ileriye yönelik oldukça önemli bir adımdır. Makalenin Giriş ve Uygulama bölümleri ayrıca önceki işler ve ilgili problemler için iyi referans kaynaklarıdır.

Feragatname: Makaleyi henüz dikkatlice okumadım.