Bir alt-bağlı elde etmek için rasgele bir kısıtlama kullanmak mümkün

Rastgele kısıtlamalara ve Anahtarlama iyi bilinen birkaç devre boyutu alt sınırı sonucu vardır . $\mathsf{AC^0}$

devreleri için alt sınır boyutunu kanıtlamak için Anahtarlama Lemma sonucu geliştirebilir miyiz ( için alt sınır kanıtlarına benzer )? $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{AC^0}$

Yoksa alt sınırlarını kanıtlamak için bu yaklaşımı kullanmanın önünde herhangi bir engel var mı? $\mathsf{TC^0}$

Doğal Kanıtlar gibi bariyer sonuçları alt sınırlarını kanıtlamak için Lemma benzeri tekniklerin kullanılmasıyla ilgili bir şey söylüyor mu? $\mathsf{TC^0}$

— Jeigh
kaynak

için değiştirmenin kanıtını biliyor musunuz ?

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— Kaveh

Arora ders kitabının alt sınır bölümünü okudum. İlk olarak, herhangi bir sabit derinlikli manşonu serpiştiren AND-OR katmanları olmayan kapılar olmadan bir devreye dönüştürün ve ikincisi Anahtarlama Lemma anahtarını kullanarak bu iki katmanı, son olarak bir devre üstü alırız ve ikinci seviye aynı AND (veya OR) kapılarıdır böylece devre derinliğini azaltarak bir katmanın cicuitini yok edebiliriz.

— Jeigh

Bununla birlikte, birkaç girdi değerini düzelttiğimizde bir kapının çıkışını gözlemlemek boole durumundan daha basit değildir (boolean durumunda kare kök n girişleri hakkında sabitleriz). VE geçidi VEYA geçidi, harman kapılarının aşırı versiyonudur ve kısıtlamaların etkisini gözlemlemek çok kolaydır.

— Jeigh

Rastgele kısıtlamalar tekniğinin ardındaki fikir, rastgele bir kısıtlamanın bir yeterli serbest değişkenleri korurken sıfır olmayan bir olasılıkla daha basit (aslında sabit) hale gelmesidir. Aksine ve kapıları, tek rastgele kısıtlaması tarafından kapı isabet hala hesaplamak olacaktır küçük boyutlu girişler geçidi ve daha basit hale olmayacaktır.

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

\land

$\land$

\lor

$\lor$

\mod p

$\mod p$

\mod p

$\mod p$

— Kaveh

Ayrıca rastgele kısıtlamaların ve Anahtarlama Lemma'nın Doğal Kanıtların başlıca örneklerinden biri olduğunu unutmayın. Her durumda, umarım bir devre karmaşıklığı uzmanı daha kapsamlı bir cevap verecektir. ps: Soruyu yeniden yazma özgürlüğünü aldım, düzenlememi beğenmediyseniz geri dönmekten çekinmeyin.

— Kaveh

Yanıtlar:

Aslında, eşik devreleri için daha düşük sınırları kanıtlamak için rastgele kısıtlamalardan yararlanmak mümkündür.

Özellikle, Eşik Devreleri için Boyut-Derinlik Tradeoffları , Impagliazzo, Paturi ve Saks, eşlik işlevini hesaplayan sabit derinlik eşik devreleri için bir üst çizgi alt sınırını (tel sayısı üzerinde) kanıtlamak için rastgele kısıtlamalar kullanır.

İçin superpolynomial alt sınır ispat getirmedi devreleri evet, doğal geçirmez kavram yoktur, çünkü önemli olmadığı yapılar yalancı rasgele fonksiyon jeneratörü içinde . $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{TC}^0$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
kaynak

Ayrıca bkz. Daniel Kane ve Ryan Williams, Süper Doğrusal Kapı ve Derinlik-2 ve Derinlik-3 Eşik Devreleri için Süper Dörtlü Tel Alt Sınırları (STOC 2016).

Ryan makaleyi şu şekilde açıklar (aşağıdaki açıklama ana sayfasından alınmıştır):

de, derinlik-iki lineer eşik devresinin (sınırsız ağırlıklarla) her çoğunluğunun aynı anda geçitlere ve kablolara ihtiyaç duyduğu açık bir işlev . Ayrıca Andreev'in fonksiyonunun ( büyüklüğünde bir derinlik üç çoğunluk devresi ile hesaplanabilir), derinlik iki doğrusal eşik devreleri ile hesaplanması için yaklaşık aynı kapı ve tel alt sınırını gerektirdiğini gösterir. Anahtar araç, rastgele kısıtlamaların düşük derinlik eşik devrelerinin girişleri üzerindeki etkisini analiz etmek için kullandığımız Littlewood-Offord Lemma'dır. $\mathsf{PP}$ $n^{1.5}$ $n^{2.5}$ $O(n)$

— Yuval Filmus
kaynak