Randomize artımlı delaunay üçgenleme algoritmasının en kötü durumu nedir?

Bunu biliyorum beklenen (verildiği şekilde kötü durum çalışma zamanı artan nirengi algoritma Delaunay randomize Hesaplamalı Geometri ) 'dir $\mathcal O(n \log n)$ . En kötü çalışma zamanının olduğunu ima eden bir alıştırma var . Bu durumun gerçek olduğu bir örnek oluşturmaya çalıştım ama şimdiye kadar başarılı olamadım. $\Omega(n^2)$

Bu denemelerden biri, adımında bir noktası , yaklaşık kenarları oluşturulacak şekilde ayarlanan noktayı düzenlemek ve sıralamaktı . $p_r$ $r$ $r-1$

Başka bir yaklaşım nokta-konum yapısını içerebilir: , adımında noktasını bulmak için nokta-konum yapısında mümkün olduğunca uzun olacak şekilde düzenlemeye çalışın . $p_r$ $r$

Yine de, bu iki yaklaşımdan hangisinin doğru olduğundan (hiç değilse) ve bazı ipuçları için memnun olacağından emin değilim.

— Tedil
kaynak

Tüm noktaları eğriye koymayı deneyin

y = x^{r}

$y = x^r$ iyi seçilmiş bazıları için

r

$r$ .

— Peter Shor

İlk yaklaşım aşağıdaki gibi resmileştirilebilir.

İzin Vermek $P$ gelişigüzel olmak $n$ parabolün pozitif dalındaki noktalar $y=x^2$ ; yani,

P = {(t_{1}, t_{1}^{2}), (t_{2}, t_{2}^{2}), \dots, (t_{n}, t_{n}^{2})}

$P = \{ (t_1, t_1^2), (t_2, t_2^2), \dots, (t_n, t_n^2) \}$ bazı pozitif gerçek sayılar için

t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}

$t_1, t_2, \dots, t_n$ . Genel kayıp olmadan, bu noktaların artan sırada dizine eklendiğini varsayalım:

0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{n}

$0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n$ .

İddia: Delaunay'ın üçgenlemesi $P$ , en soldaki nokta $(t_1, t_1^2)$ diğer her noktanın komşusu $P$ .

Bu iddia, yeni bir nokta eklemenin $(t_0, t_0^2)$ için $P$ ile $0 < t_0 < t_1$ emailleri $n$ Delaunay üçgenlemesinin yeni kenarları. Böylece, endüktif olarak, Delaunay üçgenlemesinin aşamalı olarak $P$ noktaları sağdan sola sıralayarak , oluşturulan Delaunay kenarlarının toplam sayısı $\Omega(n^2)$ .

Talebi şu şekilde kanıtlayabiliriz. Gerçek değerler için $0<a<b<c$ , İzin Vermek $C(a,b,c)$ Puanlar boyunca eşsiz daireyi belirtin $(a,a^2), (b,b^2), (c,c^2)$ .

Lemma: $C(a,b,c)$ herhangi bir nokta içermiyor $(t,t^2)$ nerede $a<t<b$ veya $c<t$ .

İspat: Dört noktayı hatırlayın $(a,b), (c,d), (e,f), (g,h)$ eğer sadece ve sadece

| \begin{matrix} 1 & a & b & a^{2} + b^{2} \\ 1 & c & d & c^{2} + d^{2} \\ 1 & e & f & e^{2} + f^{2} \\ 1 & g & h & g^{2} + h^{2} \end{matrix} | = 0

$\begin{vmatrix} 1 & a & b & a^2 + b^2 \\ 1 & c & d & c^2 + d^2 \\ 1 & e & f & e^2 + f^2 \\ 1 & g & h & g^2 + h^2 \\ \end{vmatrix} = 0$ Böylece, bir nokta

(t, t^{2})

$(t,t^2)$ daire üzerinde yatıyor

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ ancak ve ancak

| \begin{matrix} 1 & a & a^{2} & a^{2} + a^{4} \\ 1 & b & b^{2} & b^{2} + b^{4} \\ 1 & c & c^{2} & c^{2} + c^{4} \\ 1 & t & t^{2} & t^{2} + t^{4} \end{matrix} | = 0

$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 & a^2 + a^4 \\ 1 & b & b^2 & b^2 + b^4 \\ 1 & c & c^2 & c^2 + c^4 \\ 1 & t & t^2 & t^2 + t^4 \\ \end{vmatrix} = 0$ Geniş değil (örneğin, Wolfram Alpha'dan)

4 \times 4

$4\times4$ aşağıdaki forma belirleyici olarak:

\begin{matrix} (*) & (a - b) (a - c) (b - c) (a - t) (b - t) (c - t) (a + b + c + t) = 0 \end{matrix}

$(a-b)(a-c)(b-c)(a-t)(b-t)(c-t)(a+b+c+t) = 0 \tag{$*$}$ Böylece,

(t, t^{2})

$(t,t^2)$ yatıyor

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ ancak ve ancak

t = a

$t=a$ ,

t = b

$t=b$ ,

t = c

$t=c$ veya

t = - a - b - c < 0

$t=-a-b-c < 0$ . Dahası, çünkü

0 < a < b < c

$0<a<b<c$ , bu dört kök farklıdır, bu da parabolün aslında kesiştiği anlamına gelir

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ bu dört noktada. Bunu takip eder

(t, t^{2})

$(t,t^2)$ içeride yatıyor

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ ancak ve ancak

- a - b - c < t < a

$-a-b-c<t<a$ veya

b < t < c

$b<t<c$ .

◻

$\qquad\Box$

— Jeffε
kaynak

Teşekkür ederim, aslında sadece bir ipucu istedim (kanıt olmadan);)

— Tedil