İlave 5 derinlikten daha az bir sürede yapılabilir mi?

Taşıma ileriye bakma algoritmasını kullanarak bir polinom boyut derinliği 5 (veya 4?) devre ailesi kullanarak eklemeyi hesaplayabiliriz . Derinliği azaltmak mümkün mü? İleriye bakacak algoritmayı taşıyarak elde edilen derinlikten daha az derinliğe sahip polinom büyüklüğü devre ailesi kullanarak iki ikili sayının eklenmesini hesaplayabilir miyiz? $AC^0$

2 veya 3 olan devre ailelerinin hesaplama ekleri için süper polinom alt sınırlar var mı? $AC^0_d$ $d$

Derinlemesine, değişim derinliğini kastediyorum.

— Anonim
kaynak

Bize ismini söyleyebilir misin? Sen kimsin? Geçtiğimiz ay boyunca insanlar burada yeni bir kullanıcı adı oluşturuyor, bir soru soruyor ve sonra bu kullanıcı adını siliyor!

— Tayfun,

@Geekster, genellikle insanların bir hesap açması veya gerçek isimlerini kullanması zorunlu değildir (ancak, çeşitli nedenlerle bunu yapması önerilir). Bir şey hakkında genel bir endişeniz varsa, lütfen bunu yükseltmek için Teorik Bilgisayar Bilimi Meta kullanın.

— Kaveh

Bu, herhangi bir derinlik-

devresinin, bazı sabit

için iki

bit girişinin

-bit toplamını hesaplayamadığını doğrulayarak, zorla zorlanabilir ; Her bir derinlikte görünebilen girdi bitlerinin yalnızca çok sayıda boole işlevi vardır.

4

$4$

^{0}

$^{0}$

(m + 1)

$(m+1)$

m

$m$

m

$m$

— mjqxxxx

@mjqxxxx: Sabit bir m için kaba kuvvet uygularken AC0 devrelerinde polinom boyut sınırını nasıl zorlarsınız? @ OP: Akım en iyi devre derinliği 4 veya derinlik 5 mi?

— Robin Kothari

@mjqxxxx: Her Boolean işlevi derinlik

devrelerle hesaplanır . Şimdi, sabit bulmak varsayalım

boyutu bir devreyi

. Her

için

boyutunda devre olup olmadığını , nerede

veya sadece

boyutunda devrelerin olup olmadığını , nerede

olduğuna karar verir misiniz? Sonlu bir örnekten asimptotik bilgileri çıkarmanın basit bir yolu yoktur.

2

$2$

m

$m$

s

$s$

c n

$cn$

n

$n$

c = s / m

$c=s/m$

2^{ϵ n}

$2^{\epsilon n}$

ϵ = (\log s) / m

$\epsilon=(\log s)/m$

— Emil Jeřábek Monica destekler

Yanıtlar:

Alexis Maciel ve Denis Therien'deki Küçük Büyüklük Derinlikli Eşik Devrelerinde Teorem 3.1'e göre , aslında iki sayının eklenmesini hesaplamak için bir derinlik-3 devresi var.

Hassas sınırdır burada derinliği-2 sahip problemlerdir hem de devre girişler üst ve devrelerdir devreleri derinlemesine birincisi (notasyonun ayrıntılı açıklaması için makaleye bakınız). $\Delta_2 \cdot \mathsf{NC}^0_1$ $\Delta_2 = \Sigma_2 \cap \Pi_2$ $\mathsf{AC}^0$ $\vee,\wedge$ $\mathsf{NC}^0_1$ $\mathsf{NC}^0$

Ana kanıt fikirleri:

İlk önce, Carry-lookahead devresini $\mathsf{NC}^0\cdot\Delta_2\cdot\mathsf{NC}^0$
Daha sonra, bunu olarak yazmak için kapatma özelliklerini çağırın. $\Delta_2$ $\Delta_2\cdot\mathsf{NC}^0$
Son olarak, (ayrıca kağıtta kanıtlanmış) gerçeğini kullanın $\mathsf{NC}^0 \subset \Delta_1\cdot\mathsf{NC}^0_1$

— Samid
kaynak

Derinlik 2 devreleri, toplama işlemini hesaplamak için üstel boyut gerektirir; çünkü derinlik 2 devresi DNF veya CNF olmalıdır ve üstel olarak birçok minterm ve makster olduğunu doğrulamak kolaydır.

Uyarı : Aşağıdaki kısım arızalı . Cevabın altındaki yorumları görün.

Bunu saymak yolu, ekleme varsayalım derinlemesine 3'te yapılabilir ve olan iki sayıdan, inci bitleri LSB ve endeksidir MSB. $a_i$ $b_i$ $i$ $0$ $n$

Bize hesaplamak edelim , toplamın inci biti önde taşıma bakışla standart bir şekilde: $i$ $s_i$

s_{ben} = {bir}_{ben} \oplus b_{ben} \oplus c_{ben}

$s_i = a_i \oplus b_i \oplus c_i$

burada XOR ve taşıma olduğu gibi hesaplanır: $\oplus$ $c_i$

c_{ben} = \underset{j | j < ben}{⋁} (g_{j} \land p_{j})

$c_i = \bigvee_{j\mid j < i} (g_j \wedge p_j)$

ve , lokasyonunun taşımayı "ürettiği" anlamına gelir : $g_j$ $j$

g_{j} = ({bir}_{j} \land b_{j})

$g_j = (a_j \wedge b_j)$

ve taşıma gelen çoğaltılan bu araçlar için : $p_j$ $j$ $i$

p_{j} = \underset{k | j < k < ben}{⋀} ({bir}_{j} \lor b_{j})

$p_j = \bigwedge_{k\mid j < k < i} (a_j \vee b_j)$

Derinliği sayarsak, derinlik 2 ve derinlik 3'tür. derinlik 4 veya 5 gibi gözükse de, derinlik 3 devrelerinin sınırlı bir fanin hesaplaması olduğundan gerçekten sadece derinlik 3'tür. Devre boyutunu bir polinom miktarıyla şişirirken, üst iki seviyeyi de-Morgan formülleri kullanarak aşağıya doğru itebilir. $p_j$ $c_i$ $s_i$

— Noam
kaynak

Oldukça otomatik derinlik 3. Eğer, diyelim ki, sen yazma derinlik 3 devreleri nasıl sınırlı fanin hesaplamasını görmüyorum

olarak

, Eğer ilk olarak ayrı bir derinlik 3 devre yapabilir

ikinci olarak ayrı olan bir derinlik 3 devre üstünde ve

s_{i}

$s_i$

(c_{i} \land \neg (a_{i} \oplus b_{i})) \lor (\neg c_{i} \land (a_{i} \oplus b_{i}))

$(c_i\land\neg(a_i\oplus b_i))\lor(\neg c_i\land(a_i\oplus b_i))$

⋁

$\bigvee$

⋀

$\bigwedge$ üstüne. İki parçadaki bağlantı tipleri arasındaki uyuşmazlığı hesaba katarak, derinliği bir kat arttırmadan üstteki kavşağı nasıl aşağıya doğru iteceğimi göremiyorum. Bu belirterek çözülebilir

da derinliği 3 devre ile farklı bir şekilde hesaplanabilmektedir ...

c_{i}

$c_i$

— Emil Jeřábek Monica destekler

... üstünde

ile. Öte yandan, tüm derinlik 3 devrelerinde alttan fan girişi sınırlandı, bu yüzden derinlik 2 1/2 derdim.

⋀

$\bigwedge$

— Emil Jeřábek, 11

Bu çok açık. Ne işaret ediyorum yazıldığı gibi, sen şey bu değil burada bir OR iki derinlik ait olması

AND üstünde devreleri. Biri üstte VE diğeri üstte olan iki derinlikte

devreli bir VEYA'nız var. Bu tür devrelerin genel olarak

derinliğine dönüştürülebileceğinden şüpheliyim . Polinom fan-in AND ve OR'leri nicel olarak düşünün. Aşağıdakileri ifade edebilirsiniz

d

$d$

d

$d$

d

$d$

ile bir prenex formülü olarak

niceleyici blokları, ancak ihtiyaç

ifade blok ...

(\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d})) \lor (\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ψ (x_{1}, \dots, x_{d}))

$(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))\lor(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\psi(x_1,\dots,x_d))$

d

$d$

d + 1

$d+1$

— Emil Jeřábek Monica destekler

... formül

(\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d})) \lor (\exists x_{1} \forall x_{2} \dots \bar{Q} x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d}))

$(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))\lor(\exists x_1\forall x_2\dots \overline Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))$

— Emil Jeřábek, Monica

Genel ilkesine açık bir kar¸ıt için izin

bu tür devreler olduğunu ve

sahiptir VEYA üstte (diğer vaka simetriktir). Ayarlayarak

f_{n} (x_{1}, \dots, x_{n})

$f_n(x_1,\dots,x_n)$ fonksiyonlarının bir aile olmak ile hesaplanabilir

devreleri ile VEYA süper polinom derinlik gerektiren üstte

AND üstte devreleri (örneğin, Sipser işlevleri). Daha sonra

yok

devreleri. Çelişki için varsayalım

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

d

$d$

x_{0} \oplus f_{n}

$x_0\oplus f_n$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

C_{n} (x_{0}, \dots, x_{n})

$C_n(x_0,\dots,x_n)$

C_{n}

$C_n$

, elde ettiğimiz

devreleri

ile veya üst ve dolayısıyla ilgili

için devreler

ile ve üst, bir çelişkiye.

x_{0} = 1

$x_0=1$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

\neg f_{n}

$\neg f_n$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

f_{n}

$f_n$

— Emil Jeřábek,