Bir kez salt okunur formüllerin tam ikili bazda karakterizasyonu

Arka fon

Bir dizi kapı üzerindeki bir defaya mahsus formül (temel olarak da adlandırılır), her bir giriş değişkeninin bir kez göründüğü bir formüldür. Bir defaya mahsus formüller genellikle De Morgan bazında (2-bit kapıları AND ve OR ve 1-bit kapısı DEĞİL) ve tam ikili bazda (tüm 2-bit kapıları olan) incelenir.

Bu nedenle, örneğin, 2 bitlik AND her iki temelde de bir defaya mahsus formül olarak yazılabilir, ancak 2 bitlik eşlik, De Morgan bazında bir defaya mahsus formül olarak yazılamaz.

De Morgan temeli üzerinde bir defaya mahsus formül olarak yazılabilen tüm fonksiyonlar setinde kombinatoryal bir karakterizasyon vardır. Bakınız örneğin, kombinatorik karakterizasyonu okuma-bir kez Formül M. Karchmer, N. Linial, I. Newman, M. Saks, A. Wigderson ile.

Soru

Tam ikili temelde bir defaya mahsus formülle hesaplanabilen fonksiyonlar dizisinin alternatif bir karakterizasyonu var mı?

Daha Kolay Soru (v2'de eklendi)

Orijinal soruya hala bir cevapla ilgilenmeme rağmen, cevap almadım çünkü daha kolay bir soru soracağımı düşündüm: Tam ikili temelde formüller için çalışan bazı alt sınır teknikleri nelerdir? (Aşağıda listelediklerim dışında.)

Şimdi formül boyutu (= yaprak sayısı) alt sınır çalışıyorum unutmayın. Bir kez okunan formüller için, formül boyutumuz = girişlerin sayısı vardır. Dolayısıyla, bir işlevin kesinlikle n'den büyük boyutta bir formüle ihtiyacı olduğunu kanıtlayabiliyorsanız, bu aynı zamanda bir defaya mahsus formül olarak temsil edilemeyeceği anlamına da gelir.

Aşağıdaki tekniklerin farkındayım ( Boolean İşlev Karmaşıklığından gelen her teknik için bir referansla birlikte : Stasys Jukna'nın Advances and Frontiers ):

• Nechiporuk'un evrensel fonksiyonlar yöntemi (Sn 6.2): Belirli bir fonksiyon için boyutunda alt sınır gösterir. Bu, ilginizi çekebilecek belirli bir işlev için daha düşük sınırlar bulmanıza yardımcı olmaz.$n^{2-o(1)}$
• Nechiporuk'un alt fonksiyonlarını kullanan teoremi (Sn 6.5): Bu, ilgilendiğiniz herhangi bir fonksiyon için bir alt sınır sağlayacak şekilde uygun bir alt sınır tekniğidir. Örneğin, tam ikili temel üzerindeki herhangi bir formülün eleman farklılığı işlevi boyutuna sahiptir . (Ve bu, tekniğin kanıtlayabileceği en büyük alt sınırdır - herhangi bir işlev için.)$\Omega(n^2/\log n)$

"Nechiporuks yönteminden biraz daha büyük olabilen" Krapchenko alt sınırı adı verilen bir yöntem de vardır. bkz. John E Savage, Hesaplama Modelleri, bölüm 9.4.2. (bölüm 9.4.1'deki Nechiporuk yönteminden hemen sonra ele alınmıştır)