Aşağıdaki NP sorunu zor mu?

Kümelerinin bir koleksiyon düşünün taban kümesi üzerinden nerede ve içinde ve pozitif bir tamsayı olsun.$F=\{F_1,F_2,\dotsc,F_n\}$$U=\{e_1,e_2,\dotsc,e_n\}$$|F_i|$ $\ll$ $n$$e_i \in F_i$$k$

Amaç, üzerinde kümelerinin başka bir koleksiyonunu böylece her en fazla karşılıklı ayrık kümelerin birleşimi olarak yazılabilir içinde ve ayrıca istediğimiz Σ m 1 | C j | minimum olmak için (diğer bir deyişle, tüm gruplarındaki toplam eleman sayısı mümkün olduğunca az olmalıdır).$C=\{C_1,C_2,\dotsc,C_m\}$$U$$F_i$$k$ $(k<<|C|)$ $C$$\sum_1^m |C_j|$$C$

Not ile aynı boyuta sahip fakat boyutu belirsizdir.$F$$U$$C$

Herkes yukarıdaki sorunun NP-zor olup olmadığını söyleyebilir mi? (kaplama seti？ ambalaj？ mükemmel kaplama）

Zaman ayırdığınız için teşekkürler.

Lemma. Sorun NP zor.

Kanıt kroki. Kısıtlamaları dikkate almıyoruz | F i | ≪ n = | U | nakledilen sorun, bir örneği için, çünkü ( F , U , K ) sorun, örneğin ( F ' = F , n , U ' = U , n , k ) birliği alınarak elde n bağımsız kopya ( F , U , k ) (burada $|F_i| \ll n = |U|$$(F,U,k)$$(F'=F^n,U'=U^n,k)$$n$$(F,U,k)$$i$inci kopyası F kullanan I kopyasını inci U baz grubu gibi) eşdeğerdir ve tatmin kısıt (sahip olduğu | F ' ı | ≤ n « n 2 = | U ' | ).$F$$i$$U$$|F'_i| \le n \ll n^2 = |U'|$

3-SAT'dan bir indirim veriyoruz. Sunum için, indirgemenin ilk aşamasında , yayınlanan problemdeki e i ∈ F i kısıtlamalarını göz ardı ediyoruz . İkinci aşamada, azalmanın doğruluğunu korurken bu kısıtlamaların nasıl karşılanacağını açıklıyoruz.$e_i \in F_i$

İlk aşama. Herhangi bir 3-SAT formülünü ϕ sabitleyin . WLOG'un her bir cümlenin tam olarak üç değişmezine sahip olduğunu varsayalım (her biri farklı bir değişken kullanır). Gönderilen sorunun aşağıdaki örneğini ( F , U , k ) k = 3 ile üretin .$\phi$$(F,U,k)$$k=3$

N , ϕ içindeki değişkenlerin sayısı olsun . Var 3 , n + 1 elemanları olarak U bir eleman: t her değişken için, (için "doğru") ve x i içinde cp , üç elemanları x i , ¯ X i , ve f i ( "sahte" için).$n$$\phi$$3n+1$$U$$t$$x_i$$\phi$$x_i$$\overline x_i$$f_i$

Her bir elemanı için U sadece bu eleman ihtiva eden bir tekil seti vardır F . Bu nedenle herhangi bir C çözeltisi , toplam boyutlarını 3 n + 1'in C maliyetine katkıda bulunan bu setlerin her birini içerir .$U$$F$$C$$3n+1$$C$

Buna ek olarak, her bir değişken için x i içinde cp bir "değişken" dizi vardır { x i , ¯ x i , f , i , t } olarak F . Her bir madde için, cp bir "maddesi" grubu olduğu F madde, ve değişmez oluşan t . Örneğin, x 1 ∧ ¯ x 2 ∧ x 3 cümlesi { x 1 , ¯ x 2 , x kümesini verir$x_i$$\phi$$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$F$$\phi$$F$$t$$x_1\wedge \overline x_2 \wedge x_3$3 , t } olarak F .$\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$$F$

İddia 1. azaltma doğrudur: φ edilir karşılanabilir bazı çözüm IFF C maliyeti vardır Σ j | C j | = 5 n + 1 .$\phi$$C$$\sum_j |C_j| = 5n+1$

(sadece) ϕ tatmin edici olduğunu varsayalım . Bir çözelti Construct C oluşan 3 , n + 1 her bir değişken için, tekil setleri, ayrıca x i true değişmez ve aşağıdakilerden oluşan çift , t . (Örneğin, { ¯ x i , t } eğer x i yanlıştır). Maliyeti C daha sonra, 5 , n + 1 . $\phi$$C$$3n+1$$x_i$$t$$\{\overline x_i, t\}$$x_i$$C$$5n+1$

Her bir değişken grubu { x i , ¯ x i , f , i , t } üç set birliği: true değişmez ve aşağıdakilerden oluşan çift , t , artı iki tekil setleri, diğer iki eleman her biri için bir tane. (Örneğin, { ¯ x i , t } , { x i } , { f i } .)$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$t$$\{\overline x_i, t\}, \{x_i\}, \{f_i\}$

Her yan tümce kümesi (örneğin, { x 1 , ¯ x 2 , x 3 , t } ) üç kümenin birleşimidir: t ve gerçek bir değişmezden oluşan bir çift , artı diğer iki değişmez değerin her biri için bir tane olmak üzere iki tekli küme. (Örneğin, { x 1 , t } , { ¯ x 2 } , { x 3 } .)$\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$$t$$\{x_1, t\}, \{\overline x_2\}, \{x_3\}$

(varsa) 5 n + 1 boyutunda bir C çözeltisi olduğunu varsayalım . Çözelti, 3 n + 1 tekli setlerin yanı sıra 2 n büyüklüğündeki diğer setleri içermelidir .$C$$5n+1$$3n+1$$2n$

Önce n "değişken" kümesini düşünün , her biri { x i , ¯ x i , f i , t } biçimindedir . Küme, C'de en fazla üç kümenin ayrık birleşimidir . Genelliği kaybetmeden, iki tektonun ve bir çiftin ayrık birleşimidir (aksi takdirde, C'deki bölme setleri maliyeti arttırmadan bunu başarır). P i çiftini belirtin . Çiftleri P i ve p j farklı değişkenler için x i ve X j , çünkü farklı olan$n$$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$C$$C$$P_i$$P_i$$P_j$$x_i$$x_j$P i içerir x i , ¯ X i , ya da f ı , ancak p j değildir. Bu nedenle, bu çiftlerin boyutlarının toplamı 2 n'dir . Yani bu çiftler, çözümdeki tek tek olmayan setlerdir. $P_i$$x_i$$\overline x_i$$f_i$$P_j$$2n$

Daha sonra "yan tümce" kümelerini düşünün, örneğin, { x i , ¯ x j , x k , t } . Her tür kümesi içinde en fazla üç set birliği olmalıdır C iki tekil setleri ve en az bir çifti olduğunu, yukarı P i , P j veya P k . Çiftlerin ve yan tümce kümesinin incelenmesi ile, iki tekton ve bir çift birleşmesi olmalı ve bu çift { x i , t } veya { ¯ x j , t } biçiminde olmalıdır.$\{x_i, \overline x_j, x_k, t\}$$C$$P_i$$P_j$$P_k$$\{x_i, t\}$$\{\overline x_j, t\}$(değişmez ve t ).$t$

Bu nedenle, aşağıdaki atama tatmin φ : her bir değişkene atama doğru x i öyle ki p i = { x i , t } , her bir değişken için atama yanlış x i bu şekilde P i = { ¯ x i , t } ve atama kalan değişkenler keyfi olarak.$\phi$$x_i$$P_i=\{x_i, t\}$$x_i$$P_i=\{\overline x_i, t\}$

Aşama 2. Yukarıda üretilen ( F , U , k = 3 ) örneği , sorun açıklamasında belirtilen e i ∈ F i kısıtlamasını karşılamamaktadır . Bu eksikliği aşağıdaki gibi düzeltin. Sipariş setleri F ı ve elemanlar e i içinde U onun elemanının her tekil grubu karşılık böylece e i . M ϕ ' daki cümle sayısı olsun , yani | F | = 1 + 4 n $(F,U,k=3)$$e_i \in F_i$$F_i$$e_i$$U$$e_i$$m$$\phi$m ve | U | = 1 + 3 n .$|F|=1+4n+m$$|U|=1+3n$

Let $(F', U', k'=4)$ denote the instance obtained as follows. Let $A$ be a set of $2n+2m$ new artificial elements, two for each non-singleton set in $F$. Let $U'=U\cup A$. Let $F'$ contain the singleton sets from $F$, plus, for each non-singleton set $F_i$ in $F$, two sets $F_i\cup \{a_i, a_i'\}$ and $\{a_i,a_i'\}$, where $a_i$ and $a_i'$ are two elements in $A$ chosen uniquely for $F_i$. Now $|F'|=|U'|=1+5n+2m$ and (with the proper ordering of $F'$ and $U'$) the constraint $e'_i\in F'_i$ is met for each set $F'_i$.

To finish, note that $(F',U',k'=4)$ has a solution of cost $|A|+5n+1$ iff the original instance $(F, U, k=3)$ has a solution of cost $5n+1$.

(if) Given any solution $C$ of cost $5n+1$ for $(F,U,k=3)$, adding the $n+m$ sets $\{a_i, a'_i\}$ (one for each non-singleton $F_i$, so these partition $A$) to $C$ gives a solution to $(F', U', k'=4)$ of cost $|A|+cost(C)=|A|+5n+1$.

(only if) Consider any solution $C'$ for $(F', U',k=4)$ of cost $|A|+5n+1$. Consider any pair of non-singleton sets $F_i\cup\{a_i, a_i'\}$ and $\{a_i, a_i'\}$ in $F'$. Each is the disjoint union of at most 4 sets in $C'$. By a local-exchange argument, one of these sets is $\{a_i, a_i'\}$ and the rest don't contain $a_i$ or $a_i'$ --- otherwise this property can be achieved by a local modification to the sets, without increasing the cost... (lack of detail here is why I'm calling this a proof sketch). So removing the $\{a_i, a_i'\}$ sets from $C'$ gives a solution $C$ for $(F,U,k=3)$ of cost $5n+1$. $\diamond$