Bir grafiğin birleşik olarak gömülmesi

Burada: http://www.planarity.org/Klein_elementary_graph_theory.pdf (bölüm düğünlerinde) bir düzlemsel grafiğin birleştirici gömülmesi tanımı verilmiştir . (yüzlerin tanımı vb. ile) Herhangi bir grafik için kolayca kullanılabilse de, düzlemsel grafiği Euler formülünün tuttuğu grafik olarak tanımlar (grafiğin bağlı olduğu varsayılarak). Her düzlem grafiği için, kombinatoryal gömmedeki yüzlerin tanımının topolojik gömmedeki yüzlerin tanımına benzer olması oldukça anlaşılabilir . (grafiğin bağlı olduğu varsayılarak. Aksi takdirde, birleştirmeli gömmede, bağlı her bileşen için sonsuz yüze sahip oluruz)

Soru şudur: Bazı bağlı grafiklerde kombinatoryal gömme Euler formülünü karşılarsa, bu grafiğin topolojik anlamda düzlemsel olduğu anlamına gelir (düzlem gömme, yani düzlem grafiği)?

graph-theory co.combinatorics planar-graphs

— Finsky'de
kaynak

Daha sonra bu makalede bunun mümkün olduğuna dair bir cevap veriyorlar. Ama ispatla bazı bağlantılar verebilir mi?

— Finsky

Bu aslında grafik hakkında daha az ve topoloji hakkında daha fazla. Kombinatoryal gömme, her noktanın 2 boyutlu açık bir diske homeomorfik bir mahalleye sahip olduğu 2-manifoldu, topolojik bir alanı tanımlar: gömme bir yüzün tanımlanmasına izin verir ve her biri için bir disk seçerek bir topolojik alan tanımlayabiliriz yüzünü çizin ve grafik kenarları boyunca birbirine yapıştırın. Topolojide iyi bilinen bir teorem (2-manifoldların sınıflandırılması olarak adlandırılır) bize tam olarak hangi 2-manifoldun mümkün olduğunu söyler ve hepsi ya yönlendirilebilir ya da aynı Euler karakteristiğine (ya da her ikisine birden sahip olup olmadıkları) birbirinden ayırt edilebilir. ) - bkz. Http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/surgery/zeeman.pdfbu konuda, istediğiniz kanıtları içeren bazı makul ders notları için. Bu sınıflandırmada küre ile aynı Euler karakteristiğine sahip başka 2-manifold yoktur, bu nedenle Euler karakteristiğini hesaplar ve bunun bir kürenin formülüyle eşleştiğini fark ederseniz, gömme işleminizin bir küre üzerinde olması gerektiğini bilirsiniz.

Düzlemsel bir kombinatoryal gömmeye sahip olduğunuzda, düzlemdeki gerçek geometrik koordinatlarla bir gömme bulmak tamamen önemsiz değildir, ancak örneğin Schnyder ormanları teorisi kullanılarak yapılabilir. Örneğin , http://www.ics.uci.edu/~eppstein/gina/schnyder/ adresinde bazı ders notlarım var .

— David Eppstein
kaynak

Böyle kapsamlı bir cevap için çok teşekkür ederim! İlk makaleyi okudum ve kanıtları anladığım anlaşılıyor. Ama bir sorum kaldı: bunların hepsi, ne olursa olsun yüzeyleri tanımlayacağımız anlamına gelirse (saat yönünün tersine düzen ve malzeme ile birleştirici gömme gibi değil, kenarların bazı keyfi alt kümelerini kastediyorum), hepsini bir şekilde yapıştırın tutkal sadece 2 yüzeyin kenarlarını paylaşır, kenarların uç noktalarında ortaya çıkan 'düğümleri' köşe olarak tanımlayın VE Euler formülü tutarsa, bu düzlemsel bir grafik midir?

— Finsky

Bir manifold aldığınızdan emin olmalısınız: gömme yüzleri topolojik diskler olmalı, unlu kenarları bırakmanıza izin verilmiyor, her kenar sadece bir kenara yapıştırılmalıdır ve her bir tepe noktasında sadece etrafına yapıştırılmış bir kenar ve yüz döngüsü (iki koniyi uçlarında birbirine yapıştırırsanız elde ettiğiniz gibi değil). Ayrıca, bağlı bir grafikle başlamanız veya her bileşen için Euler özelliğini ayrı ayrı saymanız gerekir. Fakat bütün bunlar doğruysa ve Euler formülü geçerliyse, evet, bu düzlemseldir.

— David Eppstein

Evet, bu vakaları unuttum, emin olmak zorundalar. Çok teşekkür ederim!

— Finsky