cinsinden düzgün dağılmış nokta kümelerinde açgözlü anahtarın en uzun kenar uzunluğu

, \ mathbb {R} ^ d' de noktası kümesi olsun . Herhangi bir t \ geq 1 için , bir t- spanner , Öklid ölçüsü altında ağırlıklı yönlendirilmemiş bir G = (P, E) grafiğidir , öyle ki v , u herhangi iki nokta için G , d (v, u) arasındaki en kısa mesafe , en çok t ve v ile u arasındaki Öklid mesafesidir , | vu | (bu tanımın keyfi ölçüm alanlarına kolayca genişletilebileceğini unutmayın).$P$$N$$\mathbb{R}^d$$t \geq 1$$t$$G=(P, E)$$v$$u$$G$$d(v, u)$$t$$v$$u$$|v u|$

Giriş olarak $P$ ve t ile aşağıdaki algoritmayı düşünün $t$:

E = empty
for every pair of points (v, u) in ascending order under |vu|
    if the shortest path in (P, E) is more than t times |vu|
        add (v, u) to E
return E

Bu algoritma, açgözlü anahtar (veya yol açgözlü anahtar) denir. Bu grafik önemli bir araştırmaya tabi tutuldu: hem pratikte hem de teoride son derece iyi somun anahtarları üretiyor.

P [0,1] ^ d (d = 2 de iyi durumda) $P$eşit olarak dağıtılırsa , açgözlü somun anahtarı en uzun kenar uzunluğu ile ilgileniyorum . Bu maksimum uzunluğun en fazla yaklaşık 1 / \ sqrt {N} , potansiyel olarak bazı log faktörleri ve faktörleriyle d olduğuna inanıyorum d . Bu varsayım deneysel verilerle motive edilir.$[0,1]^d$$1 / \sqrt{N}$$d$

İlgimi çekmenin nedeni, en uzun kenarın uzunluğu nispeten kısaysa, açgözlü anahtarı hızlı bir şekilde hesaplayan bir algoritmaya sahip olmamdır. Yukarıdakiler doğruysa, algoritmamın yukarıdaki senaryoya uygulanabilir olduğu ve bu nedenle uygulamada potansiyel olarak yararlı olduğu anlamına gelir.

Rastgele dağıtılmış puan kümelerindeki kenar sayısını ve diğer anahtar türlerinin derecesini analiz eden bazı makaleler buldum, ancak en uzun kenarın uzunluğunda yok. İlgili olasılık teorisi oldukça karmaşık görünüyordu, bu yüzden kendimi kanıtlamaya çalışmadan önce bir şeyin bilindiğini umuyordum.

Bizim kağıt olarak Açgözlü Anahtarı Dağılımı-Duyarlı İnşaat aşağıdaki (Teoremi'ni 4 ve Lemma 6 birleştirerek) kanıtlamak (ESA 2014 için kabul):

Orada var olan , sadece bağımlı T bu şekilde her için c > 0 , eğer P eşit olarak ve bağımsız bir rastgele dağıtılmış nokta bir dizi $c_t$$t$$c > 0$$P$ kare venyeterince büyüktür, o zaman en az1-ncolasılıkla,Püzerindekiaçgözlüt-spannerc⋅ctlogn'dendaha uzun kenarlara sahip değildir.$\sqrt{n} \times \sqrt{n}$$n$$1 - n^c$$t$$P$$c \cdot c_t \log n$

Bizim üzerinde bağlı oldukça büyük, ama biz bağlı 'doğru' olduğunu deneysel kanıt var $c_t$ .$\frac{1}{\sqrt[4]{t-1}} \cdot \frac{\log n}{\log \log n}$