Biri ispatlayabilir Linial-Mansour-Nisan teoremini ve Fourier spektrum bilgisini kullanarak ?

Sonuç 1: Linial-Mansour-Nisan teoremi, devreleri tarafından hesaplanan fonksiyonların fourier ağırlığının, yüksek olasılıkla küçük boyutlu alt kümelerde yoğunlaştığını . $\mathsf{AC}^0$

Sonuç 2: , fourier ağırlığını derece katsayısına yoğunlaştırmıştır . $\mathsf{PARITY}$ $n$

Soru: 1 ve 2 sonuçlarını kullanarak / kullanarak devreleri tarafından hesaplanamazsa (kanıtlanabilirse) bir yolu var mı ? $\mathsf{PARITY}$ $\mathsf{AC}^0$

— Stattrav
kaynak

Bu Linial-Mansour-Nisan teoreminin bariz bir uygulaması değil mi? LMN teoreminin nasıl kanıtlandığı (özellikle olasılıksal argüman ile kanıtlanıp kanıtlanmadığı) önemsizdir.

— Tsuyoshi Ito

Aynı zamanda Linial-Mansour-Nisan teoreminin Hastad teoremi olduğu varsayılarak kanıtlanmamış mı? Bana kendi kuyruğunu kovalayan bir köpek gibi bakıyor ...

— Alessandro Cosentino

Pariteye yaklaşan bir AC0 devresinin boyutundaki alt sınır, Ryan O'Donnell'in notlarında bu şekilde elde edilir . Bkz. Sonuç 32.

— Sasho Nikolov

Bence daha ilginç soru sizin yorumunuzda: Fourier spektrumu küçük boyutlu AC0 devreleri ile hesaplanabilir düşük seviye katsayıları üzerinde yoğunlaşan her fonksiyon.

— Sasho Nikolov

@Strattav O zaman bu soruyu sorabilirsiniz.

— Tyson Williams

LMN teoremi, f, M boyutunda bir devresi ile hesaplanabilen bir boole işlevi , $(f:\{-1,1\}^n \rightarrow \{-1,1\})$ $\text{AC}^0$

\sum_{S : | S | > k} \hat{f} (S)^{2} \leq 2^{- Ω (k / (\log M)^{d - 1})}

$\sum_{S:|S|> k} \hat f(S)^{2} \leq 2^{-\Omega(k/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow \hat f([n])^{2} \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

$|\hat f([n])|$ f, parite işlevi ile olan korelasyonundan başka bir şey değildir . Let farklı olduğu girdi kesirleri olsun . $(\prod_{i = 1}^{n}x_i)$ $\delta$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} 1 - 2 δ \leq | 1 - 2 δ | & = | \hat{f} ([n]) | \leq 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow δ & \geq 1 - 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} 1 -2 \delta \leq |1 - 2\delta| &= |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow \delta &\geq 1 - 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})} \end{align}$

Dolayısıyla, M , eşit olması için , $poly(n)$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} δ & \leq \frac{1}{2^{n}} \\ \Rightarrow 2^{n} & \geq 2^{(c n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow (\log M)^{d - 1} & \geq (c - 1) n \\ \Rightarrow M & \geq 2^{Ω (n^{1 / d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} \delta &\leq \frac{1}{2^n}\\ \Rightarrow 2^n &\geq 2^{(cn/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow (\log M)^{d-1} &\geq (c-1)n \\ \Rightarrow M &\geq 2^{\Omega (n^{1/d-1})} \end{align}$

Yani, LMN teoremi kanıtlıyor sadece hesaplanabilir edilemez o da gösterileri, devreleri düşük korelasyon vardır devreleri. $PARITY$ $AC^{0}$ $PARITY$ $AC^{0}$

— Tulasi
kaynak