Boolean fonksiyonlarının Fourier analizi neden “çalışıyor”?

Yıllar geçtikçe, birçok FourS teoreminin ayrık Fourier analizi kullanılarak kanıtlandığını görmeye alıştım. Walsh-Fourier (Hadamard) dönüşümü, mülk testi, sözderandumluluk, iletişim karmaşıklığı ve kuantum hesaplama dahil, neredeyse her TCS alt alanında kullanışlıdır.

Boolean'ın Fourier analizini, bir problemle uğraşırken çok kullanışlı bir araç olarak kullanmakta rahat olmama rağmen, Fourier analizini kullanan vakaların iyi sonuçlar vermesine rağmen, oldukça iyi bir huyum olsa bile; İtiraf etmeliyim ki, bu temel değişikliği bu kadar kullanışlı kılan şeyin ne olduğundan emin değilim.

Fourier analizinin TCS çalışmasında neden bu kadar verimli olduğuna dair bir fikri olan var mı? Fourier genişlemesini yazıp bazı manipülasyonlar yaparak neden bu kadar zor görünen problemler çözüldü?

Not: Şimdiye kadarki ana sezgim, olabileceği kadar yetersiz, polinomların nasıl davrandığı hakkında oldukça iyi bir anlayışa sahip olduğumuz ve Fourier dönüşümünün çok hatlı bir polinom olarak görmenin doğal bir yolu olduğu. Ama neden özellikle bu üs? paritenin temelinde bu kadar benzersiz olan ne?

$f: \{0,1\}^n\to\mathbb{R}$$\sigma_w$$w\in\{0,1\}^n$$f(x)$$f(x+w)$. TCS'nin sorularının çoğunda, bu tür operatörlerin belirli işlevler üzerindeki etkilerini analiz etmenin altında yatan bir ihtiyaç vardır.

Şimdi, asıl nokta, Fourier temelinin, tüm bu operatörleri aynı anda köşegenleştiren ve bu operatörlerin analizini çok daha basit hale getiren temel olmasıdır. Daha genel olarak, Fourier temeli, bu soruların çoğunun altında yatan evrişim operatörünü köşegenleştiriyor. Dolayısıyla, Fourier analizi, bu operatörleri analiz etmek gerektiğinde etkili olabilir.

$f:G\to \mathbb{C}$$G$$\sigma_h$$h\in G$$f(x)$$f(x\cdot h)$

İşte bu soruya başka bir almak olabilir.

Sahte Boolean fonksiyonunun k bağlı olduğu varsayılarak, fonksiyonun Walsh polinomu gösterimi k alt fonksiyonlarına ayrıştırılabilir. Doğrusal terimlerin tümü bir alt işlevde toplanır, tümü çift alt etkileşimler bir alt işlevde toplanır, ardından 3 yollu etkileşimler vb.

Bu alt işlevlerin her biri bir "temel manzara" dır ve bu nedenle alt işlevlerin her biri, Laplacian bitişik matrisinin bir özvektörüdür (yani, Hamming mesafesi 1 mahallesi). Her alt işlev, tüm temel manzaralarda bulunan tipte karşılık gelen bir "Dalga Denklemine" sahiptir. Şimdi hariç, birlikte hareket eden k Dalga Denklemleri var.

Dalga denklemlerini bilmek, karşılık gelen arama alanını oldukça kesin bir şekilde istatistiksel olarak tanımlamayı mümkün kılar. Ortalama ve varyansı hesaplayabilir ve rasgele (üssel olarak büyük) Hamming topları ve arama alanının keyfi hiper düzlemleri üzerinde çarpıklık yapabilirsiniz.

Peter Stadler'in İlköğretim Manzaraları konusundaki çalışmasını görün.

Andrew Sutton ve ben (Darrell Whitley) sözde Boolean optimizasyonu için yerel arama algoritmalarını anlamak ve geliştirmek için bu yöntemleri kullanmak için çalıştık. Yerel arama algoritmaları için iyileştirme hamlelerini otomatik olarak tanımlamak için Walsh polinomlarını kullanabilirsiniz. Arama alanının mahallelerini rastgele numaralandırmaya hiç gerek yoktur. Walsh analizi size iyileştirme hareketlerinin nerede olduğunu doğrudan söyleyebilir.

nispeten daha genç ve çok aktif bir araştırma alanı olduğu için bu soruya büyük bir cevap muhtemelen henüz gelmedi. Örneğin, 1987’den itibaren Ingo Wegeners’in boolean fonksiyonlar üzerine kapsamlı bir kitabı bu konuda hiçbir şey içermemektedir (DFT’nin devre karmaşıklığını analiz etmek hariç).

basit bir sezgi veya varsayım, yüksek Fourier katsayısı katsayılarının, birçok giriş değişkenini hesaba katması gereken ve bu nedenle birçok kapı gerektiren alt işlevlerin varlığını gösterdiği anlaşılmaktadır. yani, Fourier genişlemesi, bir boolean fonksiyonunun sertliğini nicel olarak ölçmenin doğal bir yoludur. Bunu doğrudan kanıtlanmış görmedim, ancak birçok sonuçta ima edildiğini düşünüyorum. Örneğin, Khrapchenkos alt sınırı, Fourier katsayılarıyla ilişkili olabilir. [1]

Başka bir kaba benzetme, EE'den veya diğer mühendislik alanlarından Fourier analizinin yoğun olarak kullanıldığı bir dereceye kadar ödünç alınabilir. EE filtreleri / sinyal işleme için sıklıkla kullanılır . Fourier katsayıları, filtrenin belirli bir "bandını" temsil eder. Öykü, aynı zamanda "gürültünün" belirli frekans aralıklarında, örneğin düşük veya yüksek olarak ortaya çıktığını göstermektedir. CS’de “gürültüye” benzetme “rastlantısallık” dır, fakat aynı zamanda birçok araştırmadan (örneğin [4] 'te bir dönüm noktasına ulaşan) rastlantısallığın temelde karmaşıklıkla aynı olduğu konusunda netliği vardır. (bazı durumlarda "entropi" aynı bağlamda da ortaya çıkar.) Fourier analizi, CS ortamlarında bile "gürültü" incelemek için uygun görünüyor. [2]

Başka bir sezgi veya resim oylama / seçim teorisinden gelir. [2,3] Boole işlevlerini "oylayan" ve sonucu etkileyen alt bileşenlere sahip olarak analiz etmek yararlı olacaktır. yani oylama analizi, işlevler için bir tür ayrıştırma sistemidir. Bu aynı zamanda matematiksel analizin doruklarına ulaşan ve görünüşte Boole fonksiyonlarının Fourier analizinin kullanılmasından önce çıkan bazı oylama teorisini de güçlendirir.

Ayrıca, Fourier analizinde simetri kavramı olağanüstü görünüyor. fonksiyon ne kadar "simetrik" ise, Fourier katsayısı o kadar fazla iptal eder ve aynı zamanda fonksiyonun hesaplanması o kadar "basit" olur. fakat aynı zamanda “rastgele” ve bu nedenle fonksiyon ne kadar karmaşıksa, katsayılar o kadar az iptal eder. Başka bir deyişle simetri ve basitlik ve tersine fonksiyondaki asimetri ve karmaşıklık, Fourier analizinin ölçebileceği şekilde koordine edilmiş gibi görünmektedir.

[1] Bernierconi, Codenotti, Simon tarafından boole fonksiyonlarının Fourier analizinde

[2] De Wolf tarafından Boole küpü üzerine Fourier analizine kısa bir giriş (2008)

[3] Boolean fonksiyonlarının O'Donnell tarafından analizine ilişkin bazı konular

[4] Razborov & Rudich'in doğal delilleri