Geri bildirim tepe noktası problemi polinom zamanda 3 derecelik sınırlı grafikler için çözülebilir mi?

19

Geri Bildirim Vertex Seti, genel grafikler için NP-eksiksizdir. Köşe örtüsünün azalmasından dolayı derece-8 sınırlı grafikler için NP-tam olduğu bilinmektedir. Wikipedia makalesi o derece-3 sınırlanmış grafikler için poli-time çözülebilir ve derece-4 sınırlanmış grafikler için NP-tam olduğunu söylüyor. Ama bunun için hiçbir yerde kanıt bulamadım. Bu doğru mu?

Derece-d sınırlı grafiklerde FVS'nin NP-tam olması için minimum d nedir?

— Davis Issac
kaynak

1

Derecesi 4. düzenli yönlendirilmemiş grafiklerde sorunun zor olup olmadığını bilen var mı?

10

Li ve Liu'nun algoritması yanlıştır (İngilizce olsa da Çin'de yayınlanmıştır). Ueno ve arkadaşlarının algoritması doğrudur ve benzer bir algoritma Furst ve arkadaşlarında bulunabilir. 1 . Her iki algoritma da problemi polinom-çözülebilir matroid parite problemine indirgemektedir [3].

VC'den düşürülmesi, derece-6 sınırlı grafik için NP sertliğini garanti eder! VC zaten kübik grafiklerde NP açısından zor. Speckenmeyer tezinin [4] FVS'nin maksimum derece dört düzlemsel grafiklerde NP sertliğinin kanıtını içerdiğini iddia etti, ancak bulmak çok zor (tezine erişimi olanların bana bir kopya gönderip gönderemeyeceğini çok takdir edeceğim. ). Neyse ki, derece dört sınırlı grafiklerin NP sertliğinin yeni bir kanıtı 2'de bulunabilir :

Dair açıklamalar 2 : - Aslında, o sorun APX-zor olduğunu kanıtladı ama bu onun azalmalar da sorunun NP-sertlik kanıtı için geçerli olduğunu doğrulamak kolaydır. - Azaltılması düzlemsel grafikler için geçerli DEĞİLDİR.

Merrick L. Furst, Jonathan L. Gross ve Lyle A. McGeoch, “Maksimum cins grafik bulma”, Journal of the ACM, cilt. 35, hayır. 3, s. 523–534, 1988. 10.1145 / 44483.44485
Rizzi, R .: Zayıf temel döngü tabanlarını bulmak zordur. Algoritmik 53 (3), 402-424 (2009) 10.1007 / s00453-007-9112-8
László Lovász, Grafik Teorisinde Cebirsel Yöntemlerde “Matroid Eşleştirme Sorunu”, ser. Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai, cilt. 25, Szeged, Macaristan, 1980, sayfa 495-517.
Ewald Speckenmeyer, “Untersuchungen zum feedback tepe noktası problemi ungerichteten grafende sorun yarattı,” Doktora tezi, Universität-GH Paderborn, Reihe Informatik, Bericht, 1983.

— Yixin Cao
kaynak

9

Bunun "açıkça yanlış" olmasının basit bir nedeni var mı?

— Suresh Venkat

2

@SureshVenkat Geç cevap verdiğim için üzgünüm: Bu soruyu yeni farkettim. Kritik hata, bu makalenin ana teoremi olan Teorem 4.2'de yer almaktadır. Bu bir bitişiklik uygun verilen iddia

ve kenarları, bir çift

büyük bir bitişiklik uygun olarak

değil de

, bunlar arttırabilir

eklenerek

için

. Bitişik eşleşmenin tanımı, bitişik eşleşmenin tüm kenarlarının silinmesini gerektirdiğinden, bu açıkça yanlıştır, grafiğin bağlantısını KESMEZ.

M

$M$

{e_{1}, e_{2}}

$\{e_1,e_2\}$

M^{'}

$M'$

M

$M$

M

$M$

{e_{1}, e_{2}}

$\{e_1,e_2\}$

M

$M$

— Yixin Cao

devam ... Bir kolayca uygun olsun

tek bir tepe toplanır çifti ile

, ve başka bir uygun

için diğer kenar olayı kullanan biri iki çift

. Bu çift

arttırmak için kullanılamaz . Dahası, Lemma 4.1 de kritik hatalar içeriyor, ancak bu höyüğün detaylarını hatırlamıyorum. (Onları 2009'un başlarında tespit ettim ve hemen yazarlarla iletişim kurmaya çalıştım, ama ne yazık ki hiç yanıt

M

$M$

v

$v$

M^{'}

$M'$

v

$v$

M

$M$

— alamadım

9

İlgili referanslar aşağıdaki gibi görünmektedir:

Ueno, Shuichi; Kajitani, Yoji; Gotoh, Shin'ya. Köşe derecesi üçü aşmayan grafikler için ayrılmayan bağımsız küme problemi ve geri bildirim küme probleminde. Birinci Japonya Grafik Teorisi ve Uygulamaları Konferansı Bildirileri (Hakone, 1986). Ayrık Matematik. 72 (1988), no. 1-3, 355-360 .

Li, Deming; Liu, Yanpei. 3 düzenli basit bir grafiğin minimum geri besleme tepe kümesini bulmak için bir polinom algoritması. Açta Math. Sci. 19 (1999), no. 4, 375-381.

(Uyarı: İkisini de okumadım ama ikisi de problemi polinom zamanında çözdüğünü iddia ediyorlar. 3 düzenli ve maksimum derece üç arasındaki farkın bu sorun için önemli olduğunu düşünmüyorum.)

— David Eppstein
kaynak