Fourier ağırlığı AC0 devreleri tarafından hesaplanan küçük boyutlu setler üzerinde yoğunlaşan tüm fonksiyonlar mı?

Olan Fourier ağırlığı (Düşük derecede veya şartlara) küçük boyutlu setlerinde konsantre edilir hesaplanan fonksiyonlarıdır devreleri? $\mathsf{AC}^0$

— Stattrav
kaynak

Bu soru ilginç görünüyor, ancak fourier analizinde arka plandan yoksunum. İlgili literatüre yapılan göndermeleri takdir ediyorum.

— Markus

@Markus: Ryan O'Donnell'in bu kitabı 2.0 mükemmel bir referanstır: antrenman.andrew.cmu.edu/~ryanod

— Alessandro Cosentino

neredeyse Linial, Mansour, Nissan 1993 ile muhabbet ? aaronsons sonuç, genel Linial-Nissan karşı örnek yakın görünüyor? ama imho orada bir şekilde 1993 sonucu genelleştirmek için bir yol olmalı ... belki büyük bir şekilde ....

— vzn

AC ^ 0 yerine başka bir benzer fikir, çürütmek daha zor, derinlik sınırsız olurdu ama bazı "küçük" fonksiyonu ile sınırlı toplam kapı sınırlı devreleri polinom vb demek ...? Ayrıca afaik monoton devreler ve fourier katsayıları arasındaki ilişki çok iyi bilinmemektedir ...?

— vzn

ayrıca bkz. polilogaritmik bağımsızlık braverman tarafından AC ^ 0 devrelerini aptal

— vzn

Yanıtlar:

Hayır. aşağıdaki işlevi göz önünde bulundurun : $\{0,1\}^n$ Açıkçası bu işlev AC⁰için zordur. Öte yandan, işlev neredeyse sabittir, bu yüzden Fourier spektrumunun neredeyse tamamı ilk seviyededir.

f (x) = x_{0} \land \dots \land x_{n - \sqrt{n} - 1} \land (x_{n - \sqrt{n}} \oplus \dots \oplus x_{n - 1}) .

$f(x) = x_0 \land \cdots \land x_{n-\sqrt{n}-1} \land (x_{n-\sqrt{n}} \oplus \cdots \oplus x_{n-1}).$

Dengeli bir karşı örnek istiyorsanız, Bu işlev neredeyse her zamaneşittir, bu yüzden Fourier spektrumunun neredeyse tamamı ilk iki seviyededir.

g (x) = x_{0} \oplus [x_{1} \land \dots \land x_{n - \sqrt{n} - 1} \land (x_{n - \sqrt{n}} \oplus \dots \oplus x_{n - 1})] .

$g(x) = x_0 \oplus \left[x_1 \land \cdots \land x_{n-\sqrt{n}-1} \land (x_{n-\sqrt{n}} \oplus \cdots \oplus x_{n-1})\right].$

x_{0}

$x_0$

— Yuval Filmus
kaynak

AC0'da işlevin yaklaşılamayacağı sağlam örnekleriniz var mı?

— MCH

İlk

seviyelerinde yoğunlaşan bir işlev her zaman

girdilerine bağlı bir işleve yakındır , bu nedenle yalnızca

düzeyleriyle ilgilenirsek, sağlam örnekler yoktur.

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Fourier spektrum seviyesi ne anlama geliyor? Bu fonksiyon

için neden zor ?

A C^{0}

$AC^0$

@Arul Fourier seviyesi, belirli bir boyuttaki kümelere karşılık gelen tüm Fourier katsayılarından oluşur. Bunları artan boyut düzeninde sıralı olarak düşünüyoruz. Bu fonksiyonun AC0 için neden zor olduğuna gelince, bu bir egzersizdir. İpucu: Eşlik AC0 için zordur.

— Yuval Filmus

Soruyu, "küçük boyutlu" ve "konsantre" kelimelerin tam anlamına göre anlamanın birkaç yolu vardır.

$1-o(1)$ $S$ $1-o(1)$ ${\rm AC^0}$ .

2) Bourgain'in bir konsantrasyonu, eğer konsantrasyon çoğunluk fonksiyonunun çok üzerindeyse, o zaman fonksiyonun yaklaşık bir Junta olduğu ve dolayısıyla O (1) değişkenlerine bağlı olduğu teorisi vardır.

$\hat f^2(S)$ $AC^0$ ${\rm polylog} (n)$ . Toplam etki O (1) ise, işlev bir Junta'ya yakındır, yani O (1) değişkenlerine bağlıdır.

$O(\log n)$ $AC^0$ .

$O(polylog (n))$ $n^{polylog (n)}$

— Gil Kalai
kaynak