Matris güçlenmesinin karmaşıklığı

Let kare tamsayı matris ve izin pozitif bir tamsayı olmak. Aşağıdaki karar probleminin karmaşıklığı ile ilgileniyorum: $M$ $n$

Sağ üst girişi pozitif mi? $M^n$

Yinelenen karenin (ya da diğer açık hesaplamaların) bariz yaklaşımının, potansiyel olarak iki kat üstel büyüklükteki tam sayıları ele almamızı, yani katlanarak çok fazla bit yapmamızı gerektirdiğini unutmayın. Bununla birlikte, problem Allender ve arkadaşlarının "PosSLP" sınıfında ( "Nümerik Analizin Karmaşıklığı Üzerine", SIAM J. Comput. 38 (5) ) ve bu nedenle sayma hiyerarşisinin dördüncü seviyesinde kolayca görülebilir. .

1) Bu matris güçlendirme problemini daha düşük bir karmaşıklık sınıfına yerleştirmek mümkün mü?

2) Olmazsa, makul bir şekilde PosSLP zor olabilir mi?

3) Özellikle 6x6 matrisleri de içeren düşük boyutlu matrisler için matris güçlendirme problemi ile özellikle ilgileniyorum. Bu gibi matrisler için karmaşıklık daha düşük olabilir mi?

cc.complexity-theory linear-algebra matrices

— Joel
kaynak

Başlık, "Matris güçlerinin karmaşıklığı" olarak değiştirilmemeli midir? Matris üstelleştirmesi (bkz. En.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential ), genel olarak A, B matrisleri için "A = exp (B)" olarak anlaşılır.

— Martin Schwarz

Düzenleyeceğim. Bu iyi bir nokta, @ MartinSchwarz

— Suresh Venkat

Matrisi PDP-1 formuna dönüştürürseniz (ki bu küçük bir matris için ve n'nin yeterince yüksek bir gücü sabit olarak kabul edilebilir), o zaman diyagonal girişlerin her girişinin işaretini önemsizce görebilirsiniz. Sonra kalan iki matris çarpımını bulmak kolaydır.

— Robert Mason

@Robert Mason: Ne önerdiğinizden tam olarak emin değilim. Eğer D, Ürdün kanonik M formuysa, M ^ n = P ^ (- 1) D ^ n P ise, D'nin girişleri genellikle karmaşık cebirsel sayılar olacaktır, peki "işareti" ile ne demek istiyorsunuz? Polinom sürede D ve P'yi hesaplayabileceğinizi kabul ediyorum (cebirsel sayıların standart gösterimlerini varsayarsak), ancak M ^ n = P ^ (- 1) 'in sağ üst girişi için aldığınız ifade, D ^ n P ifadesi olacaktır. n gücüne yükseltilmiş çeşitli cebirsel sayıları içeren ve bu ifadenin işaretini nasıl etkili bir şekilde belirleyebileceğinizi göremiyorum.

— Joel

@Robert Mason: Hala anlamıyorum - bu tersinir matrisler için nasıl / neden bu kadar etkili? (Ve bu arada, "çoğu" matrisler tersi değil, tersidir.)

— Joel

Boyutları matrisleri için Matris Açılması pozitifliği sorun olan (bakınız, bu 2015 STACS görünmesini kağıdı) $k = 2,3$ $\mathsf{P}$

— Samid
kaynak

Bunun gönderilmesine karşı koyamadım! :-)

— SamiD