Cins probleminin yakınlığı

11

Şu anda cins probleminin yakınlığı hakkında ne biliniyor? Bir ön arama, sabit bir faktör yaklaşımının yeterince yoğun grafikler için önemsiz olduğunu ve bir yaklaştırma algoritması dışlandığını söylüyor. Bu bilgi güncel mi, yoksa daha iyi sınırlar var mı? $n^\epsilon$

cc.complexity-theory approximation-hardness topological-graph-theory

8

En iyi yayınlanan sonuçların tümü 1997 yılında Jianer Chen, Saroja P. Kanchi ve Arkady Kanevsky tarafından yayınlanmıştır.

Herhangi bir sabit , ek hatası olan bir grafiğin cinsini hesaplamak NP zordur. $\varepsilon>0$ $O(n^\varepsilon)$
(Bilinmeyen) cins -vertex grafiğini cinsinin yönlendirilebilir bir yüzeyine gömmek için önemsiz doğrusal zaman algoritması vardır : Her tepe noktasını terk eden kenarlara rastgele döngüsel bir düzen atayın (ilmekleri ve paralel kenarları bir arada tutmak). Başka bir deyişle, cins büyük olduğunda, her yerleştirme en iyi yerleştirmenin iyi bir yaklaşımıdır . $n$ $g$ $\max\{4g, g+4n\}$
Sınırlı dereceli grafikler için bir polinom-zaman -ek yakınlaştırma algoritması vardır. $O(\sqrt{n})$

Etkin bir sabit faktör yaklaşım algoritması olup olmadığı açık bir sorudur.

— Jeffε
kaynak

2

Cinsinin çarpımsal yaklaşımı ile hesaplanmasının NP-zor olduğunu [Chen, Kanchi, Kanevsky '97] 'den nasıl takip ettiğini anlamıyorum . Örneğin, MAX CUT'u bir ek yaklaşımla hesaplamak da NP zordur, ancak Goemans ve Williamson'ın algoritması 0.878 ... yaklaşımı verir.

O (n^{ε})

$O(n^{\varepsilon})$

O (n^{ε})

$O(n^{\varepsilon})$

— Yury

Evet haklısın. Cevabınızı siz ışığında güncelledim.

— Jeffε

5

Jɛ ﬀ E'nin kapsamlı cevabına, bilgim dahilinde, bu problemin yaklaşım faktörünün alt sınırlarının bulunmadığını eklemek istedim. Bildiğimiz kadarıyla, her zaman sabit bir faktör yaklaşımı veren bir yaklaşım algoritması olabilir (cins çok küçük olsa bile).

Chen, Kanchi ve Kanevsky [CKK '97] makalesi sadece cinsin ilave hatası ile hesaplanmasının NP-zor olduğunu söylüyor . İşte argümanlarının gayri resmi bir taslağı. Bu argümanın yaklaşıklık faktörü üzerinde bir alt sınır kanıtlamak için kullanılamayacağı açıktır. veya (bazıları ) olup olmadığını belirlemek NP zor olacak şekilde bir grafiği düşünün ; problem NP-zor olduğu için böyle bir grafik var. Let tepe nokta sayısını olduğu . Let büyük sabit. grafiğinin ayrık kopyalarını alın $O(n^{1-\varepsilon})$ $G$ $\mathrm{genus}(G) \leq g^*$ $\mathrm{genus}(G) \geq g^*+1$ $g^*$ $n$ $G$ $k$ $N = n^k$ $G$ ve birliklerini düşünün. Daha sonra elde edilen grafiğinde , veya . Yani, ek hatası ; burada . Bu yapı bize, yaklaştırma faktörü üzerinde herhangi bir alt sınır vermez; oranı için oranına eşit için . $G'$ $\mathrm{genus}(G') \leq N g^*$ $\mathrm{genus}(G') \geq N(g^*+1)$ $\mathrm{genus}(G')$ $N = (Nn)^{k/{k+1}} = |V(G')|^{k/{k+1}} = |V(G')|^{1-\varepsilon}$ $\varepsilon = 1/(k+1)$ $N(g^*+1)$ $Ng^*$ $g^*+1$ $g^*$

— Yury
kaynak