Tek vuruşta kuantum isabet süreleri

Makalede Kuantum Rastgele Yürüyüşler Üstel Daha Hızlı Vurdu ( arXiv: quant-ph / 0205083 ) Kempe, kuantum yürüyüş literatüründe çok popüler olmayan kuantum yürüyüşleri (hiperküpte) için isabet süresi kavramını verir. Aşağıdaki gibi tanımlanır:

Tek Shot Kuantum vurmak Süresi: Bir kesikli zaman kuantum yürüyüş vardır tek atış zamanı -hitting eğer burada başlangıç durumudur, hedef durumdur ve isabet olasılığıdır. $(T,p)$ $(|\Psi_0\rangle,|\Psi^f\rangle)$ $|\langle\Psi^f|U^T|\Psi_0\rangle|^2 \geq p$ $|\Psi_0\rangle$ $|\Psi^f\rangle$ $p>0$

Normalde asgari bilmek istiyorum şekilde . Ortalama bir isabet süresi kavramını tanımlamak mümkün değildir (yanlışsam beni düzeltin) çünkü yürüyüş sırasında ölçüm yapmanız gerekecek ve bu da klasik bir yürüyüşe düşecektir. Bu yüzden tek seferlik bir fikrimiz var. Aynı işte kuantum yönlendirme için bir başvuru vardır (bkz. Bölüm 5 ). $T$ $p>0$

Yürüyüşün hedef tepe noktasına ulaştığını bilmek için sadece o düğümde bir ölçüm yapmanız gerekir. Örneğin, ile boyutlu hiperküp düğüm Eğer düğümünde başlarsak ve hedef düğüm olarak var makalede sınırlı hata olasılığı olan , yani olarak çok büyür. Böylece yürüyüşün ulaştığını tespit etmek için adımlarından sonra bir ölçüm yaparsınız . Bu üstel bir hızlanmadır. $n$ $2^n$ $|\Psi_0\rangle=|00\dots00\rangle$ $|\Psi^f\rangle=|11\dots11\rangle$ $T=O(n)$ $p\to 1$ $n$ $|11\dots11\rangle$ $\Omega(n)$

Sorular:

Arama için bu isabet süresi kavramını kullanmak için en azından hedef tepe noktasının başlangıç noktasına olan mesafesini bilmeniz gerekir, çünkü ölçümünüzü ne zaman uygulayacağınızı bu şekilde bilirsiniz. Diyelim ki bir grafiğiniz var ve başlangıç tepe noktası olarak ve ulaşmak istiyorsunuz . Ayrıca ve . Şey, $G$ $v_0$ $v^f$ $T=O(dist(v_0,v^f))$ $p\geq 1/2$ $T$ açıktır, çünkü ona ulaşmak için en azından bu kadar adım atmanız gerekir. Arama için bu vurma zamanını kullanmanın bir anlamı var mı? Düğümün nerede olduğunu biliyorsanız, aramada bir anlam yoktur, ancak "başlangıç noktasından uzaklık" gibi bir bilgiye sahip olmak, ancak hedefin tam olarak nerede olduğunu bilmemek, bu isabet zamanının herhangi bir ilginç (çalışmaya değer) ) arama algoritması?
Kuantum yönlendirme başvurusunun bir anlamı var mı? Makalede, paketleri yönlendirmek için kullanılabileceğini söylüyor, ancak bana sadece 1 bit gönderebileceğiniz anlaşılıyor, örneğin hedefe varmış mı değil mi? Bu çerçevede gerçekten bir kuantum durumu gönderebilir misiniz? Makalede bu konu ele alınmamıştır.
Bu belki sormak aptalca bir soru, ama işte gidiyor. Bir "Genelleştirilmiş Mach-Zender İnterferometre" oluşturmak için bu isabet süresi kavramını kullanabilir misiniz?

Kuantum yürüyüşleri için diğer isabet zamanlarının farkındayım ( Szegedy's ya da Ambainis gibi ). Özellikle bu vurma zamanı ile ilgileniyorum.

Güncelleme (24.09.2010): Joe Fitzsimons sayesinde 2. ve 3. sorulara tamamen cevap verildi. Her ne kadar 1. soru hala devam ediyor. İlk olarak, 2. soruyu daha spesifik terimlerle ifade edeceğim, şimdi Joe'nun bana önerdiği makaleyi ve birkaçını daha okudum (örneğin arXiv: 0802.1224'e bakın ) ve sonra aklımdakiler hakkında somut bir örnek vereceğim soru 1 için.

2' . Somut bir mesaj gönderiyorsanız (klasik bit dizisi gibi), yürüyüş adımlarında bu bilgileri kopyalayacak daha karmaşık bir ünite kullanabilirsiniz. Kuantum durumları göndermek için daha fazlasına ihtiyacınız var. Spin zincirleri kanalı, sabit bir bağlantıya sahip doğrusal bir kübit dizisi kullanır. Bir uçta iletmek istediğiniz durumu (saf durum, karışık durumlar için işe yarayıp yaramadığını bilmiyorum) koyabilir ve sayısal sonuçlara göre yüksek sadakatle diğer uca gider. Hala daha fazla düşünmem gerekiyor, ancak iki fikrim var: i) grafiğin her bağlantısına bir zincir koymak veya ii) yürüyüşü yapmak, hedef durumu bulmak, sonra başlangıç durumu ve hedef arasındaki kanalı yapmak ve göndermek eyalet. Bu yaklaşımlardan herhangi biri düşünülebilir mi? Karma durumlarla çalışır mı?

1' . 2-boyutlu bir ızgara üzerinde bir mesafede yer kökenli ortalanmış göz önünde uzunluğu her bir yanında düğümleri . Başlangıç durumunu ve hedef durumu ; burada . Yürüyüş simetrik olduğu için, aşağıda gösterildiği gibi ızgara sınırındaki herhangi bir hedefi aynı vuruş zamanı ve vuruş olasılıkları için tutuyoruz. $n$ $\sqrt{n}$ $v_0=(0,0)$ $v^f=(\sqrt{n}-1,a)$ $a=0,\dots,\sqrt{n}-1$

alternatif metin

Bu nedenle elimizdeki bilgiler . Bunu ne zaman ölçüm yapacağımızı bilmek için kullanabiliriz. Tek atış isabet süresi bu tabloyu aramak için kullanılabilir mi? Burada bu bilgilere ihtiyacınız var. Izgara aramadaki açık sorun, arama için bir alt sınır olduğunu ve ızgaralar için en iyi üst sınırın olduğunu bilmemizdir . Ya daha iyi bir algoritma bulamıyoruz ya da bunları ızgaralarda kullandığınızda alt sınırları kanıtlama teknikleri zayıf bir alt sınır veriyor. altına gitmenin tek yolunun , sorudaki gibi "bir parça bilgi" ye sahip olduğunu gösterebilir misiniz ? Bu, ızgaralar için daha düşük bir sınır kanıtlamanın bir yolunu ifade eder. Bir anlam ifade ediyor mu? $dist(v_0,v^f)=\Omega(\sqrt{n})$ $\Omega(\sqrt{n})$ $O(\sqrt{n\log n})$ $\sqrt{n\log n}$

— Marcos Villagra
kaynak

Yanıtlar:

Bu makaleye pek aşina değilim, ama lanetli bir bakıştan sonra sorularınızın her birine kaba bir cevap vermeye çalışacağım.

Grover'ın algoritması gerçekten de bu isabet zamanı kavramıyla görülebilir. Sistemi ne zaman ölçeceğinize karar vermelisiniz ve T tüm sonuçlar için sabit olsa da, hesaplamak hala önemlidir. Burada T kesinlikle (bu durumda 1'dir), daha çok , bu nedenle burada geçerli değil. $O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$ $O(\sqrt{n})$ $T=O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$
Yazarın rastgele yürüyüş yapmak için tüm bir paketi aldığını varsayıyorum. Açıkçası bu biraz daha karmaşık bir üniter gerektirir, ancak gerçekten bir sorun görmüyorum. Alternatif olarak, Burgarth ve Bose aynı grafiklerde bilgileri kodlamak için çok güzel bir şemaya sahiptir; bu, 1d zincirlerini sadece tercih edilen ağ ile değiştirirseniz de çalışır ( quant-ph / 0406112 ).
Bu vurma zaman kavramına tam olarak ihtiyacınız yok. Hiperküpler mükemmel durum aktarımına sahiptir (örneğin, quant-ph / 0309131 ve quant-ph / 0411020 ), böylece hiper küp üzerindeki aktarımı, 2d durumuna karşılık gelen Mach-Zender interferometresi ile bir interferometre olarak görüntüleyebilirsiniz.

GÜNCELLEME: (Bir ızgarada veya diğer kafeslerde rastgele yürüyüşlerle ilgili güncellenmiş soruyu cevaplamak için)

Uzamsal arama sorunu ile vurguladığınız ölçüm sorununa bir yaklaşım, yürüteç şu anda mevcut olan tepe noktası ( ) eşitse ve geçerli zaman çizelgesine 1 dönerse, her zaman aralığında bir ölçüm yapmaktır. t bu tepe noktasına vurma zamanıdır. Bu, dalga işlevinin daraltılması sorununu önlemelidir, çünkü ölçüm yalnızca vurma süresine ulaşıldığında her bir tepe noktası için yapılır ve bu konum doğru sonuçsa yalnızca bir konuma daraltır. $v_t$ $v^f$

— Joe Fitzsimons
kaynak

Joe, cevabın için teşekkürler. Yaklaşık 1, ölçümle ilgili sorun, hedefin onu kullanmak için başlangıç noktanızdan ne kadar uzakta olduğunu bilmeniz gerektiğidir. Örneğin, bir d boyutlu ızgara için düğümler, en Merkezde başlayacak ve hedef ızgara sınırında bir yerde ve biz biliyoruz diyelim. Bu yüzden merkezden uzaklık 'dir ve isabet olasılığı hata ile sınırlıysa bu sizin isabet sürenizdir. Bu tür bir bilgiye sahip olabileceğimizi varsayabilir miyiz? Çünkü Grover's için tam bir kör arama yapıyorsunuz ve bu daha gerçek görünüyor

n

$n$

Ω (n^{1 / d})

$\Omega(n^{1/d})$

— Marcos Villagra

∣ v_{0} - v^{f} ∣^{- \frac{1}{2}}

$\mid v_0 - v^f \mid^{-\frac{1}{2}}$

O (t^{- 1})

$O(t^{-1})$

Evet kesinlikle. Verdiğim rakam sadece belirli bir sistem için. Sadece köşelerden bağımsız olarak sürekli bir vurma olasılığı elde etmenin her zaman mümkün olmadığını vurgulamak istedim.

— Joe Fitzsimons

Ama arama sorusuna geri dönersek, ızgaralara örnek verdim çünkü “ızgaralarda uzamsal arama” (nicelik-ph / 0303041) üzerine düşünüyordum. Ama yine de, bana öyle geliyor ki, hedefe isabet edip etmediğinizi görmek için bir ölçüm yapmak için, hedefi içeren alt alanda yapmanız gerekir. Hayal ettiğim gibi, o yürüyüşte sürekli olarak yürüyüşün gelip gelmediğini kontrol eden bir cihaza ihtiyacınız var. Benim sorunum her zaman az çok hedefinizin nerede olduğunu bilmeniz gerektiği gibi görünüyor. (Devam)

— Marcos Villagra

Soru 1 ile ilgili olarak, bilinmeyen hedef tepe noktası ile hiper küp üzerindeki bilinen bazı başlangıç noktası tepe noktası arasındaki mesafenin bilinmesi, arama işlemine yardımcı olabilir. Ancak, mesafenin kendisi bu bilginin ne kadar yararlı olduğunu belirler.

Tipik kuantum yürüme algoritmaları genellikle Grover aramasının varyasyonları / yaklaşımlarıdır: toplam Hilbert uzayının 2 boyutlu bir alt uzayında durum vektörünün yaklaşık bir dönüşünü içerirler.

Bu algoritmaları, başlangıç noktasından belirli bir mesafede tüm köşelerin yaklaşık olarak homojen bir şekilde üst üste binmesini etkili bir şekilde hazırlamak için kullanabilirsiniz. Daha sonra kuantum veya klasik (Monte Carlo) aramayı kullanarak bu süperpozisyon içindeki hedef tepe noktanızı arayabilirsiniz: Klasik arama için süperpozisyonu hazırlayın ve köşe bazında ölçün ve hedefi bulana kadar tekrarlayın. Kuantum arama için, süperpozisyon hazırlama prosedürü (ve tersi), Grover iterasyonundaki Hadamard dönüşümünün yerini alan bir alt rutin haline gelir.

$n$ $d$ $\binom{n}{d}$ $\approx \frac{2^n}{\sqrt{\frac{\pi}{2}n}}$ $\approx n/2$

— Antonio Valerio Miceli-Barone
kaynak