NP tamamlanmış doğallarda doğal bir sorun mu var?

30

Herhangi bir doğal sayı bir bit dizisi olarak kabul edilebilir, bu nedenle doğal bir sayı girmek, bir 0-1 dizisi girmekle aynıdır, bu nedenle doğal girdilerle ilgili NP-tamamlayıcı problemler açıkça vardır. Ancak herhangi bir doğal problem var mı, yani rakamların bazı kodlamalarını ve özel yorumlarını kullanmayanlar? Örneğin, "Asal mı?" Bu doğal bir problem, ama bu P'de. Veya "Nim oyununu 3, 5, n, n büyüklüğünde yığınlarla kim kazandı?" doğal olduğunu düşündüğüm başka bir sorun, ancak bunun P de olduğunu biliyoruz. Aynı zamanda NP yerine diğer karmaşıklık sınıflarıyla da ilgileniyorum.

Güncelleme: Emil işaret ettiği gibi ' in doğal maddeler üzerinde bir çözümü olup olmadığını belirlemek için verilmiştir . Doğal olarak aklımda olan tam olarak buydu, ancak buradaki girdi sadece bir değil üç sayı. $a,b,c\in \mathbb N,$ $ax^2+by-c=0$

Güncelleme 2: Dört yıldan fazla beklemenin ardından Dan Brumleve “daha iyi” bir çözüm sundu - rastgele indirgeme nedeniyle hala tamamlanmadığını unutmayın.

— domotorp
kaynak

1

Girişin n tamsayısı olduğu NEXP-tam bir döşeme problemini biliyorum ve buradaki problem nxn ızgarasının geçerli bir döşemesi olup olmadığını belirlemek. Bu senin için ilginçse, kağıdı arayacağım.

— Robin Kothari

2

@Emil: domotorp'un yorumu kargaşaya verdiğim bir cevaptı. Ama bu benim açımdan bir yanlış anlaşılma oldu, bu yüzden yorumu sildim. Bence girdi, hiçbir şeyi kodlamaması gereken tek bir doğal sayı olmalı.

— Robin Kothari

8

@domotorp: Doldurduğum NP-tamam probleminin, cinsinden, değerinin değerine sahip olup olmadığını belirlemesidir . Başka bir değişken, verildiğinde ,

eşittir

olacağı şekilde olup olmadığına karar

. (Sonuç, dx.doi.org/10.1145/800113.803627'den alınmıştır .)

a, b, c \in N

$a,b,c\in\mathbb N$

a x^{2} + b y - c = 0

$ax^2+by-c=0$

x, y \in N

$x,y\in\mathbb N$

a, b, c

$a,b,c$

x \leq c

$x\le c$

x^{2} \equiv a (\mod b)

$x^2\equiv a\pmod b$

— Emil Jeřábek,

3

Neden bu sorunun cevabı açıkça HAYIR değil ? Her NP-hard problem bir boolean devresini "kodlayan" örneklere sahiptir; tartışmalı, NP-zor olmanın anlamı budur!

— Jeffε

2

@domotorp: belki başka iyi "doğal" aday tek Verilen sayının asgari katkı zincirlerini bulma sorunudur : den Minimal Toplama Zincirlerinin Numarası On "... kümesi için minimal bir ek zincirini bulma probleminin: ve numaraları NP tamamlandı. bazen için en az bir ek zincir bulmak olduğu iddia edildiği gibi bu anlamına gelmez NP tamamlandı. Ancak, kolay bir dizi için tüm az bir ek zincirleri bulma problemi olduğu sonucuna varabiliriz olduğu NP tamamlandı ... "

n

$n$

m

$m$

n

$n$

n

$n$

— Marzio De Biasi

17

Bu sorunun tek bir tamsayı girişi ile bir varyasyonu var:

en büyük iki ana faktör arasında kesinlikle bir bölen var mı ? $n$

Buradaki fikir, en iyi cevapta açıklanan alt küme toplamından aynı rasgele indirgemeyi , bağlantılı soruya, ancak ayrı ayrı verilenler yerine en büyük iki asal olarak kodlanan hedef aralık ile kullanmaktır. Tanım, sadece kılık değiştirmiş eşleştirme işlevine rağmen doğal bir görünüme sahip.

İşte aynı problemin, bölüm probleminden de benzer bir düşüşle başka bir varyasyonu:

, den daha az farklılık gösteren iki tamsayının ürünü mü ? $n$ $n^{\frac{1}{4}}$

Her iki azaltmada da yakındaki primerleri bularak ve ürünlerini alarak bir tam sayı kümesini "kamufle ediyoruz". Polinom zamanında bunu yapmak mümkün ise, o zaman bu sorunlar NP-tamamlandı.

Mahaney'in teoremiyle birlikte bu örneklere bakmak aydınlatıcı olduğunu düşünüyorum : ve yakındaki primeları bulabilirsek, o zaman bu kümeler seyrek değildir. Karmaşıklık teorisinden tamamen aritmetik bir ifade almak tatmin edicidir (sadece varsayımsal ve muhtemelen başka bir yolla kolayca kanıtlanabilir). $P \ne NP$

— Dan Brumleve
kaynak

'eğer P ≠ NP ve yakındaki primeları bulabiliriz' derken ne demek istiyorsun?

— T ....

1

@ao., Peter Shor'ın azaltmayı açıklayan cevabını görün . NP tamamlanmış olması için , zamanında ile bir asal bulmamız gerekir . Bütün bunları kendi hesabımı burada daha sonra vermeye çalışacağım.

p

$p$

| p - n | < n^{a}

$\vert p - n \vert \lt n^a$

O ((\log n)^{k})

$O((\log{n})^k)$

— Dan Brumleve

Hangi kümeler yoğun değil?

— T ....

33

Tartışmaya dayanarak, bunu bir cevap olarak tekrarlayacağım.

Manders ve Adleman tarafından kanıtlandığı gibi , aşağıdaki sorun NP-tamamlayıcısıdır: doğal sayıları verildiğinde , doğal sayısının olup olmadığına karar verin, böylece . $a,b,c$ $x\le c$ $x^2\equiv a\pmod b$

Problem şu şekilde aynı şekilde ifade edilebilir: verildiğinde karesel x'inin çözümüne sahip olup olmadığını belirleyin . $b,c\in\mathbb N$ $x^2+by-c=0$ $x,y\in\mathbb N$

(Orijinal makale, ile ilgili problemi belirtir , ancak birinin durumuna indirebileceğini görmek zor değildir .) $ax^2+by-c$ $a=1$

— Emil Jeřábek Monica'yı destekliyor
kaynak

10

İşte bir giriş olarak tek bir doğal sayı ile tamamlanmış bir problem. $\text{NEXP}$

Buradaki sorun ızgarasını sabit bir fayans ve sınırdaki fayans ve sınırlar üzerindeki sınırlamalar ile döşemektir. Bunların hepsi sorunun tanımlanmasının bir parçasıdır; girişin bir parçası değil. Giriş tek sayıdır . Sorun gösterildiği gibi bazı döşeme kuralları seçimi için tamamlandı. $n \times n$ $n$ $\text{NEXP}$

D. Gottesman, S. Irani, "Tercümede Değişmeyen Çini ve Hamilton Problemlerinin Kuantum ve Klasik Karmaşıklığı", Proc. 50. Yıllık Semp. Bilgisayar Biliminin Temelleri, 95-104 (2009), DOI: 10.1109 / FOCS.2009.22 . Ayrıca arXiv: 0905.2419 .

Sorun, arxiv versiyonunun 5. sayfasında tanımlanmıştır.

Ek olarak, ayrıca nin sınırlı hata kuantum analoğu olan -complete olan benzer bir problem tanımlarlar . ( nin klasik sınırlı hata analoğu , .) $\text{QMA}_\text{EXP}$ $\text{NEXP}$ $\text{NEXP}$ $\text{MA}_\text{EXP}$

— Robin Kothari
kaynak

3

+ 1, ama bu sayı iddia biraz zordur belirli bir Turing makinesi (girdi kodlayan çünkü, "doğal" bir şekilde kullanılıyor Turing makinesi kabul IFF özel olarak ise, döşeme var , olan , olası giriş şeritlerinin bir numaralandırma -th). Hala çok ilginç bir sonuç.

n

$n$

x

$x$

x

$x$

n

$n$

— mjqxxxx

Ben mjqxxxx ile azami katılıyorum.

— domotor

2

Kolmogorov karmaşıklığının zamana bağlı varyasyonlarından birini kullanarak, yalnızca bir sayının ikili gösterimini kullanan bir sorun yaratabileceğinizi ve (bence) ; gayri sorunun bir Karar verilebilen sürümü "mi sıkıştırılabilir?": $\mathsf{P}$ $n$

Sorun: verildiğinde , bir Turing makinesi var mı? ve boş bant çıkışları az olarak adımda, ikili gösterimi uzunluğu $n$ $M$ $|M| < l$ $M$ $n$ $l^2$ $l = \lceil \log{n} \rceil$ $n$

Açıkçası , çünkü ve verildiğinde , sadece adımları için simüle eder ve durursa sonucu ile karşılaştırın . $\mathsf{NP}$ $n$ $M$ $M$ $l^2$ $n$

— Marzio De Biasi
kaynak

Bence bu problem oldukça TM tabanlı ama elbette bir çizgi çizilmesi imkansız.

— domotor

Domotorp'un yorumunu daraltmak için, problem tanımlamasında bir Turing makinesinin nosyonunu çağırması gerektiği gerçeğinin, bunu 'doğal sayılarla ilgili doğal bir problem' olarak nitelendirdiğini söyleyebilirim. (Eğer doğal sayılarla ilgili bir doğal problemin, genel formatının, örneğin matematiğe karşı çok fazla bir

— karşıtlığa değinmeden

2

Bizim FOCS'17 kağıt Kısa Presburger Aritmetik NP-c "doğal" bir sorunun örneğidir ve sabit sayıda kullanan giriş tamsayıların, ki . Manders-Adleman'dan farklı olarak, kısıtlamaların eşitsizliği vardır. Bazı geçmişler için Gil Kalai'nin blog gönderisine bakın. $C$ $C< 220$

— Igor Pak
kaynak

Bence Manders-Adleman'dan daha doğal. değişkenden küçük ve eşitsizlik örneği mümkün mü?

5

$5$

10

$10$

— T ....

Hayır, 5 değişken en küçüktür. 10 - emin değil. Ama 6'dan daha azına sahip olamazsın ...

— Igor Pak

ve arkasında bir neden var mı ? Demek istediğim, tüm ve sonlu eşitsizliklerin sayısının (aynı şekilde tüm değişkenleri ve eşitsizlikleri formülasyonunun ?) mı?

\geq 5

$\geq5$

\geq 6

$\geq6$

\leq 4

$\leq4$

P

$P$

\leq 5

$\leq5$

\leq 5

$\leq5$

P

$P$

— T ....

Evet. Daha az değişken için sorun

— Igor Pak

2

Evet. Hepsi bizim makalemizde ve Danny Nguyen'in tezinde. math.ucla.edu/~pak/papers/Nguyen-thesis.pdf

— Igor Pak

1

KATILIM sorununa ne dersiniz ?

— Kevin A. Wortman
kaynak

3

Hayır, giriş bir sayı değil, küme olduğundan.

— domotorp

1

Yani bir örneğin tam olarak bir doğal sayı olduğu problemleri mi soruyorsunuz? “Doğal girdilerle ilgili problemler” istediğin ve Nim oyunu örneğinin dört rakamı içerdiğinden, sorunun açık olmadığını düşünüyorum.

— Kevin A. Wortman

Sorunun formülasyonunda belirsiz olsaydım özür dilerim.

— domotorp