Özel Grafik Sınıflarında Maksimum Bağımsız Set için Yaklaşım algoritmaları

23

Maksimum Bağımsız Kümenin (MIS) P = NP olmadıkça herhangi bir faktörü için faktörü içinde yaklaşık olarak zor olduğunu biliyoruz . Daha iyi yaklaşım algoritmaları bilinen bazı özel grafik sınıfları nelerdir? $n^{1-\epsilon}$ $\epsilon > 0$

Polinom-zaman algoritmaları için bilinen grafikler nelerdir? Bunun bilinen mükemmel grafikler olduğunu biliyorum, ancak başka ilginç grafik sınıfları var mı?

— Arindam Pal
kaynak

1

Bu sorunun tam (yaklaşık olmayan) sürümü: cstheory.stackexchange.com/q/2503/109

— András Salamon

19

MIS için bazı önemsiz algoritmaları olan tüm bilinen grafik sınıflarının gerçekten harika bir listesi var: bu yazıyı grafik sınıfları web sitesinde görün.

— Suresh Venkat
kaynak

8

Bu liste sadece kesin algoritmalar içindir. Yaklaşımda, ana sınıf düzlemsel grafikler üzerindeki PTAS, sınırlı cins grafikler ve H-minörsüz grafikler olabilir.

— Yixin Cao

Sağol Suresh. Liste oldukça kapsamlı. Yaklaştırma sonuçları için Yan'a da teşekkürler.

— Arindam Pal

2

ilgili referanslar şunlardır: Brenda S. Baker: Düzlemsel Grafiklerde NP-Komple Problemler için Yaklaşım Algoritmaları. J. ACM 41 (1): 153-180 (1994); David Eppstein: Küçük-Kapalı Grafik Ailelerinde Çap ve Gerilim. Algoritma 27 (3): 275-291 (2000); Erik D. Demaine, Mohammad Taghi Hajiaghayi, Ken-ichi Kawarabayashi: Algoritmik Çizge Küçük Teorisi: Ayrışma, Yaklaşım ve Renklendirme. FOCS 2005: 637-646. Ayrıca bakınız: courses.csail.mit.edu/6.889/fall11/lectures/L08.html ve courses.csail.mit.edu/6.889/fall11/lectures/L09.html

— Christian Sommer

12

Bu soruna iyi bir bakış açım yok, ancak bazı örnekler verebilirim. Basit bir yaklaşım algoritması, bazı düğümlerin sırasını bulmak ve bağımsız kümesinde önceki komşularından herhangi birinin bağımsız bir kümede seçilmemiş olması halinde, bağımsız kümede olacak düğümleri nazikçe seçmek olacaktır.

$d$ $d$ $n^{1-\epsilon}$

Yaklaşımlar için de işe yarayan birkaç teknik var ama onları iyi tanımıyorum. Bkz .: http://en.wikipedia.org/wiki/Baker%27s_technique ve http://courses.engr.illinois.edu/cs598csc/sp2011/Lectures/lecture_7.pdf

Polinom algoritmaları için problemleri tam olarak çözme Suresh'in verdiği bağlantı en iyisidir. Hangi grafiklerin daha ilginç olduğunu söylemek zor.

$k$ $O(2^k n)$ $k$ $O(\log n)$

— Martin Vatshelle
kaynak

Muhammed El-Türkistan'ın cevabında dediği gibi kübik düzlemsel grafikler, bağımsız kümenin yaklaştırılabileceği mükemmel olmayan grafiklerden biridir. Tüm düzlemsel grafikler en fazla 5 dejenerasyona sahiptir ve k cinsi grafiklerin dejenerasyonu O (k) ve bağımsız küme dolayısıyla yaklaşık olarak olabilir.

— Martin Vatshelle 10:12

5

Kübik düzlemsel grafikler sınıfı için, bu makale, Elarbi Choukhmane ve John Franco tarafından kübik düzlemsel grafiklerde maksimum bağımsız küme problemi için bir yaklaşım algoritması, bir polinom zaman yaklaşımı algoritması vermektedir. Algoritmalarının yaklaşıklık faktörü 6 / 7'dir.

— Muhammed El Türkistan
kaynak

1

Bu, 1986'da yayımlandığı sırada Baker'ın tekniği (FOCS'83) tarafından çoktan kullanılmıştı

— David Eppstein

4

Yukarıdaki cevapları kontrol etmedim, bu yüzden bir çakışma olursa özür dilerim. Polinom zamanında tam olarak çözebileceğiniz özel bir durum. Grafiğiniz bir çizgi grafik ise , o zaman H kök grafiğini bulmak için bir polinom zaman algoritması çalıştırın ve ardından H cinsinden maksimum eşleşmeyi bulun.

— Babis Tsourakakis
kaynak

Hem çizgi grafikler hem de çizgi grafiklerin tamamlayıcısı polinomdur ve Suresh Venkat tarafından verilen liste kapsamındadır.

— Martin Vatshelle

3

Geometrik kesişme grafiklerinde, birkaç ilginç yaklaşım, PTAS ve üstel tam algoritmalar vardır. Bir anket için Maksimum Ayrılma Kümesi Wikipedia makalesine bakın .

— Erel Segal-Halevi
kaynak