Bir cuntayı bölmenin sağlamlığı

Bir Boolean fonksiyonunun $f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ in k ise bir $k$ junta olduğunu söylüyoruz $f$ en fazla sahip $k$ etkileyen değişkenler.

Let $f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ olması bir $2k$ -junta. Değişkenleri belirtmektedir $f$ ile $x_1, x_2, \ldots, x_n$ . Düzeltme

$$S_1 = \left\{ x_1, x_2, \ldots, x_{\frac{n}{2}} \right\},\quad S_2 = \left\{ x_{\frac{n}{2} + 1}, x_{\frac{n}{2} + 2}, \ldots, x_n \right\}.$$ Açıkça, mevcut$S \in \{S_1, S_2\}$gibi olduğu$S$en azından aşağıdakileri içerir$k$ etkilenmesinin değişkenlerin $f$ .

Şimdi izin $\epsilon > 0$ ve farz $f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ ise $\epsilon$ her gelen -far $2k$ -junta (yani biri en azından bir kısmını değiştirmek zorunda $\epsilon$ değerleri f 2 k- junta $f$yapmak için ). Yukarıdaki ifadenin "sağlam" bir versiyonunu yapabilir miyiz? Yani, evrensel bir sabit c ve bir dizi S ∈ { S 1 , S 2 } var mı?$2k$$c$$S \in \{S_1, S_2\}$ öyle ki $f$ dır-dir $\frac{\epsilon}{c}$ -far en fazla içeren her işlevinden$k$değişkenleri etkileyen$S$?

Not: Sorunun orijinal formülasyonunda, c $c$ olarak sabitlenmiştir . Neal'ın örneği, c'nin bu değerinin yeterli olmadığını göstermektedir. Ancak, mülk testinde genellikle sabitlerle çok ilgili olmadığımız için, durumu biraz gevşedim.$2$$c$

Cevap Evet". Kanıt çelişkilidir.

Gösterim kolaylığı için, ilk $n/2$ değişkenlerini $x$ ve ikinci $n/2$ değişkenlerini y ile gösterelim $y$. $f(x,y)$ nin $\delta$ olduğunu , sadece x'in k koordinatlarına bağlı olan f 1 ( x , y ) işlevine yakın olduğunu varsayalım . Etkili koordinatlarını T 1 ile belirtin . Benzer şekilde, varsayalım f ( x , y ) olduğu$f_1(x,y)$$k$$x$$T_1$$f(x,y)$$\delta$ -yakın bir işleve $f_2(x,y)$ sadece bağlıdır $k$ koordinatları $y$ . Tarafından etkili koordinatlarını belirtir $T_2$ . Biz kanıtlamak için gereken $f$ olan $4\delta$ bir yakın - $2k$ -junta $\tilde f(x,y)$ .

Let bize demek ( X 1 , y 1 ) ~ ( x 2 , y 2 ) , eğer x 1 ve x 2 tüm koordinatları kabul T 1 ve y 1 ve y 2 tüm koordinatlar üzerinde anlaşma T 2 . Her denklik sınıfından rasgele bir temsilci seçiyoruz. Let ( ˉ X , ˉ y ) sınıfı için temsili olacak y ) . Tanımlamak$(x_1,y_1) \sim (x_2,y_2)$$x_1$$x_2$$T_1$$y_1$$y_2$$T_2$$(\bar x, \bar y)$$(x,y)$˜ f'yi aşağıdaki gibi: ˜ f (x,y)=f( ˉ x , ˉ y )$\tilde f$

$$\tilde f(x,y) = f(\bar x, \bar y).$$

O açıktır ~ f bir olduğunu 2 k -junta (o sadece değişkene bağlıdır T 1 ∪ T 2 ) . Beklendiği gibi f'den 4 distance uzaklıkta olduğunu kanıtlayacağız .$\tilde f$$2k$$T_1 \cup T_2)$$4\delta$$f$

Bu ispat istediğiniz Pr ~ f ( Pr x , y ( ~ f ( x , y ) ≠ f ( x , y ) ) ) = Pr ( f ( ˉ X , ˉ y ) ≠ f ( x , y ) ) ≤ 4 δ , x ve y rastgele homojen seçilir. Rastgele bir vektör düşünün

$$\Pr_{\tilde f}(\Pr_{x,y}(\tilde f(x,y) \neq f(x,y))) = \Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y)) \leq 4\delta,$$ $x$$y$ ~ x elde edilen$\tilde x$$x$ tüm bit tutarak T 1 ve rasgele olmayan tüm bit saygısız T 1 ve bir vektör ~ y benzer şekilde tanımlanır. Not bu Pr ( ~ f ( x , y ) ≠ f ( x , y ) ) = Pr ( f ( ˉ X , ˉ y ) ≠ f ( x , y ) ) = $T_1$$T_1$$\tilde y$ $$\Pr(\tilde f(x,y) \neq f(x,y)) = \Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y))= \Pr(f(\tilde x, \tilde y) \neq f(x,y)).$$

Biz sahip

$$\Pr(f(x,y) \neq f(\tilde x, y)) \leq \Pr(f(x,y) \neq f_1(x, y)) + \Pr(f_1(x,y) \neq f_1(\tilde x, y)) + \Pr(f_1(\tilde x,y) \neq f(\tilde x, y)) \leq \delta + 0 + \delta = 2\delta.$$

Benzer şekilde Pr ( f ( ˜ x , y ) ≠ f ( ˜ x , ˜ y ) ) ≤ 2 δ . Biz Pr ( f ( ˉ X , ˉ y ) ≠ f ( x , y ) ) ≤ 4 δ . QED$\Pr(f(\tilde x,y) \neq f(\tilde x, \tilde y)) \leq 2\delta$

$$\Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y)) \leq 4\delta.$$

Bu kanıtı "derandomize etmek" kolaydır. Her için ( x , y ) , izin ~ f ( x , y ) = 1 ise f ( x , y ) = 1 için en ( x ' , y ' ) eşdeğerlilik sınıfında ( x , y ) , ve ~ f ( x , y ) = 0 , aksi takdirde.$(x,y)$$\tilde f(x,y) = 1$$f(x,y) = 1$$(x',y')$$(x,y)$$\tilde f(x,y) = 0$

En küçük c değerler için de geçerlidir ki c = $c$√2 -1≈2.41.$c = \frac{1}{\sqrt 2 - 1} \approx 2.41$

Lemmas 1 ve 2, bağın bu c için tuttuğunu gösterir . Lemma 3, bu bağın sıkı olduğunu gösterir.$c$

(Buna karşılık, Juri'nin zarif olasılık argümanı c = 4 verir .)$c=4$

Let c = 1√2 -1. Lemma 1,k=0için üst sınırı verir.$c=\frac{1}{\sqrt 2 - 1}$$k=0$

Lemması 1: Eğer f isimli ε g -yakınındaki bir işlev g hiçbir etki değişkenleri olan S 2 ve f olan ε h bir işlev-yakınındaki saat no tesir büyüklükleri olan S 1 ve ardından f isimli ε -yakınındaki sürekli bir fonksiyonu , burada ϵ ≤ ( ϵ g + ϵ h ) /$f$$\epsilon_g$$g$$S_2$$f$$\epsilon_h$$h$$S_1$$f$$\epsilon$c .$\epsilon \le \frac{(\epsilon_g+\epsilon_h)/2}{c}$

Kanıt. Izin vermek ϵ f ile sabit bir fonksiyon arasındaki mesafe . Varsayalım ki ϵ iddia edilen eşitsizliği karşılamıyor. Let Y = ( x 1 , x 2 , ... , x , n / 2 ) ve z = ( x , n / 2 + 1 , ... , x , n ) ve yazma f , g , ve h olarak f ( $\epsilon$$f$$\epsilon$$y=(x_1,x_2,\ldots,x_{n/2})$$z=(x_{n/2}+1,\ldots,x_n)$$f$$g$$h$ , z) , G ( y , z ) ve h ( y , z ) , bu nedenle g ( y , z ) bağımsızdır z ve h ( y , z ) bağımsız$f(y,z)$$g(y,z)$$h(y,z)$$g(y,z)$$z$$h(y,z)$$y$ .

(I find it helpful to visualize $f$ as the edge-labeling of the complete bipartite graph with vertex sets $\{y\}$ and $\{z\}$, where $g$ gives a vertex-labeling of $\{y\}$, and $h$ gives a vertex-labeling of $\{z\}$.)

G 0 , g ( y , z ) = 0 olacak şekilde çiftlerin ( y , z ) kesri olsun . Let g 1 = 1 - g 0 çifti öyle ki fraksiyon olabilir g ( y , z ) = 1 . Benzer şekilde h 0 , h ( y , z ) = 0 olacak şekilde çiftlerin fraksiyonu olsun ve $g_0$$(y,z)$$g(y,z) = 0$$g_1=1-g_0$$g(y,z) = 1$$h_0$$h(y,z) = 0$$h_1$ be the fraction of pairs such that $h(y,z) = 1$.

Without loss of generality, assume that, for any pair such that $g(y,z) = h(y,z)$, it also holds that $f(y,z) = g(y,z) = h(y,z)$. (Otherwise, toggling the value of $f(y,z)$ allows us to decrease both $\epsilon_g$ and $\epsilon_h$ by $1/2^n$, while decreasing the $\epsilon$ by at most $1/2^n$, so the resulting function is still a counter-example.) Say any such pair is ``in agreement''.

The distance from $f$ to $g$ plus the distance from $f$ to $h$ is the fraction of $(x,y)$ pairs that are not in agreement. That is, $\epsilon_g + \epsilon_h = g_0 h_1 + g_1 h_0$.

The distance from $f$ to the all-zero function is at most $1 - g_0 h_0$.

The distance from $f$ to the all-ones function is at most $1-g_1 h_1$.

Further, the distance from $f$ to the nearest constant function is at most $1/2$.

Thus, the ratio $\epsilon/(\epsilon_g+\epsilon_h)$ is at most

$$\frac{\min(1/2, 1-g_0 h_0, 1-g_1 h_1)}{g_0 h_1 + g_1 h_0},$$ where $g_0,h_0 \in [0,1]$ and $g_1 = 1-g_0$ and $h_1=1-h_0$.

By calculation, this ratio is at most $\frac{1}{2(\sqrt 2 - 1)} = c/2$. QED

Lemma 2 extends Lemma 1 to general $k$ by arguing pointwise, over every possible setting of the $2k$ influencing variables. Recall that $c=\frac{1}{\sqrt 2 - 1}$.

Lemma 2: Fix any $k$. If $f$ is $\epsilon_g$-near a function $g$ that has $k$ influencing variables in $S_2$, and $f$ is $\epsilon_h$-near a function $h$ that has $k$ influencing variables in $S_1$, then $f$ is $\epsilon$-near a function $\hat f$ that has at most $2k$ influencing variables, where $\epsilon \le \frac{(\epsilon_g+\epsilon_h)/2}{c}$.

Proof. Express $f$ as $f(a,y,b,z)$ where $(a,y)$ contains the variables in $S_1$ with $a$ containing those that influence $h$, while $(b,z)$ contains the variables in $S_2$ with $b$ containing those influencing $g$. So $g(a,y,b,z)$ is independent of $z$, and $h(a,y,b,z)$ is independent of $y$.

For each fixed value of $a$ and $b$, define $F_{ab}(y,z) = f(a,y,b,z)$, and define $G_{ab}$ and $H_{ab}$ similarly from $g$ and $h$ respectively. Let $\epsilon^g_{ab}$ be the distance from $F_{ab}$ to $G_{ab}$ (restricted to $(y,z)$ pairs). Likewise let $\epsilon^h_{ab}$ be the distance from $F_{ab}$ to $H_{ab}$.

By Lemma 1, there exists a constant $c_{ab}$ such that the distance (call it $\epsilon_{ab}$) from $F_{ab}$ to the constant function $c_{ab}$ is at most $(\epsilon^h_{ab} + \epsilon^g_{ab})/(2c)$. Define $\hat f(a,y,b,z) = c_{ab}$.

Clearly $\hat f$ depends only on $a$ and $b$ (and thus at most $k$ variables).

Let $\epsilon_{\hat f}$ be the average, over the $(a,b)$ pairs, of the $\epsilon_{ab}$'s, so that the distance from $f$ to $\hat f$ is $\epsilon_{\hat f}$.

Likewise, the distances from $f$ to $g$ and from $f$ to $h$ (that is, $\epsilon_g$ and $\epsilon_h)$ are the averages, over the $(a,b)$ pairs, of, respectively, $\epsilon^g_{ab}$ and $\epsilon^h_{ab}$.

Since $\epsilon_{ab} \le (\epsilon^h_{ab} + \epsilon^g_{ab})/(2c)$ for all $a, b$, it follows that $\epsilon_{\hat f} \le (\epsilon_g + \epsilon_h)/(2c)$. QED

Lemma 3 shows that the constant $c$ above is the best you can hope for (even for $k=0$ and $\epsilon=0.5$).

Lemma 3: There exists $f$ such that $f$ is $(0.5/c)$-near two functions $g$ and $h$, where $g$ has no influencing variables in $S_2$ and $h$ has no influencing variables in $S_1$, and $f$ is $0.5$-far from every constant function.

Proof. Let $y$ and $z$ be $x$ restricted to, respectively, $S_1$ and $S_2$. That is, $y=(x_1,\ldots,x_{n/2})$ and $z=(x_{n/2+1},\ldots,x_n)$.

Identify each possible $y$ with a unique element of $[N]$, where $N=2^{n/2}$. Likewise, identify each possible $z$ with a unique element of $[N]$. Thus, we think of $f$ as a function from $[N]\times[N]$ to $\{0,1\}$.

Define $f(y,z)$ to be 1 iff $\max(y,z) \ge \frac{1}{\sqrt 2}N$.

By calculation, the fraction of $f$'s values that are zero is $(\frac{1}{\sqrt 2})^2 = \frac{1}{2}$, so both constant functions have distance $\frac{1}{2}$ to $f$.

Define $g(y,z)$ to be 1 iff $y\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$. Then $g$ has no influencing variables in $S_2$. The distance from $f$ to $g$ is the fraction of pairs $(y,z)$ such that $y<\frac{1}{\sqrt 2}N$ and $z\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$. By calculation, this is at most $\frac{1}{\sqrt 2}(1-\frac{1}{\sqrt2}) = 0.5/c$

Similarly, the distance from $f$ to $h$, where $h(y,z)=1$ iff $z\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$, is at most $0.5/c$.

QED