Yüksek başarı olasılığı ile Grover algoritmasının optimizasyonu hakkında

Fonksiyonun sınırlı hata kuantum sorgu karmaşıklığının iyi olduğu bilinmektedir. $OR(x_1,x_2,\ldots, x_n)$ dır-dir $\Theta(\sqrt{n})$ . Şimdi soru şu ki, kuantum algoritmamızın olasılıkla her girdi için başarılı olmasını istiyorsak $1-\epsilon$ normalden ziyade $2/3$ . Şimdi açısından $\epsilon$ uygun üst ve alt sınırlar nelerdir?

Anında $O(\sqrt{n} \log(1/\epsilon))$ Grover algoritmasını tekrarlayarak bu görev için sorgular yeterlidir. Ancak hatırladığım kadarıyla, dikkatli bir şekilde çalıştırılırsa, yani uygun sayıda yineleme için düz bir Grover algoritması bile en uygun değildir. $\epsilon=O(1/n)$ sadece $O(\sqrt{n})$ yineleme. Ve böylece bunu kullanmak herkes için bir iyileşme elde edebilir $\epsilon$ 'S. Öte yandan, bunu beklemiyorum $\Omega(\sqrt{n})$ çok küçükler için doğru cevap ol $\epsilon$ 'S.

Ama birinin ne gösterebileceğini görmek istiyorum $\epsilon$ - Farklı aralıklar için bağımlı üst ve alt sınırlar $\epsilon$ özellikle ne zaman $\epsilon$ çok küçük demek $\epsilon= \exp(-\Omega(n))$ veya $\epsilon=1/n^k$ büyük için $k$ 'S.

(Bir bağlam vermek gerekirse, genel fenomen, kuantum sorgu karmaşıklığı bağlamındaki amplifikasyondur.)

— Muhammed Bavyeralı
kaynak

Bu makale sorularınıza cevap vermelidir: arxiv.org/abs/cs/9904019v2

— John Watrous

Hmmm şu anda biraz kafam karıştı

ϵ = \frac{1}{N}

$\epsilon=\frac{1}{N}$ . Görünüşe göre bu makale arxiv.org/pdf/quant-ph/9605034v1.pdf hakkında

\frac{π}{4} \sqrt{N}

$\frac{\pi}{4}\sqrt{N}$ yinelemeler yüksek olasılıklı bir sonuç elde edebilir, yani

ϵ = \frac{1}{N}

$\epsilon=\frac{1}{N}$ . (sayfa 2 ilk sütunun altında) Öte yandan, bahsettiğiniz makalenin 3. sayfanın 4. sayfasında,

o (1)

$o(1)$ başarısızlık olasılığı,

O (\sqrt{N})

$O(\sqrt{N})$ sorguları.

— Mohammad Bavarian

@MohammadBavarian: Bence bu sadece çözüm sayısının bilindiği durumda (ya da benzersiz bir çözüm var).

— Robin Kothari

Bütünlük uğruna, işte bir cevap.

İzin Vermek $Q_\epsilon(f)$ belirtmek $\epsilon$ - bir fonksiyon hesaplamanın hata kuantum sorgu karmaşıklığı $f$ ve $\mathsf{OR}_n$ VEYA işlevi açık $n$ bit olarak tanımlanır $\mathsf{OR}_n(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{i=1}^n x_i$ . (Bunun, girişin tam olarak 1 olduğu ve hedefin 1 olduğunu vaat ettiğiniz sorundan farklı olduğunu unutmayın. Bu sorun, herhangi bir hata olmadan çözülebilir. $\Theta(\sqrt{n})$ sorguları.)

Sonra hepimiz için $\epsilon \in [2^{-n},1/3]$ ,

$Q_\epsilon(\mathsf{OR}_n) = \Theta(\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$ .

Bu , Küçük Hata Sınırları ve Sıfır Hata Kuantum Algoritmaları'ndan gelir .

Aslında daha genel bir şey biliyoruz. Tüm simetrik fonksiyonlar için $f$ , sadece girdinin Hamming ağırlığına bağlı olan fonksiyonlar, hepsi için $\epsilon \in [2^{-n},1/3]$ ,

$Q_\epsilon(f) = \Theta(Q_{1/3}(f)+\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$ .

Bu, kuantum algoritmaları ve simetrik fonksiyonlar için minimum derecede epsilon hatası polinomları üzerine bir notta gösterilmiştir .

— Robin Kothari
kaynak