# 2-SAT'ın # P-complete alt aileleri nelerdir?

Kısa versiyon.

# 2-SAT'ın #P -complete olduğuna dair orijinal kanıt, aslında # 2-SAT'ın hem monoton (herhangi bir değişkenin olumsuzluğunu içermeyen) hem de bipartit ( değişkenler iki parçalı bir grafiktir) #P -hard. Bu nedenle, # 2-MONOTONE-SAT ve # 2-BIPARTITE-SAT olmak üzere iki özel durum #P -hard. Formülün #P -hard olan 'doğal' özellikleri ile karakterize edilebilecek başka özel durumlar var mı?

Uzun versiyon.

# 2-SAT problemi hesaplama görevidir - birkaç cümlenin birleşiminden oluşan bir boole formülü için, her cümle x j veya ˉ x j iki değişmezinin ayrılmasıdır - boole dizelerinin sayısı x ∈ { 0 , 1 } n öyle ki ϕ ( x ) = 1 . Böyle bir x'in olup olmadığını anlamak kolaydır; ancak genel olarak çözeltiler sayısının sayılması olan #P içinde Valiant ile gösterildiği gibi, -Komple$\phi$$x_j$$\bar x_j$$x \in \{0,1\}^n$$\phi(x) = 1$$x$Sayım ve Güvenilirlik Sorunlarının Karmaşıklığı, SIAM J. Comput., 8 , s. 410-421 .

Özellikle # 2-SAT durumunda, Valiant'ın gerçekte gösterdiği şey, çok belirli bir yapıya sahip # 2-SAT örneklerine yol açan iki taraflı grafiklerde eşleşmeleri (kusurlu olanlar dahil) saymaktan # 2-SAT'a bir azalmadır. , aşağıdaki gibi.

1. İlk olarak, monoton bir sorun, her bir değişken için olan sorun, ikamesi yoluyla, denk olduğunu not , ya X j formül meydana cp ya da ˉ x j yapar, ancak her ikisi de. Özellikle, her değişken için sadece ˉ x j negatifliğinin meydana geldiği "monoton azalan" problemi , monoton durum kadar serttir.$x_j$$x_j$$\phi$$\bar x_j$$\bar x_j$

2. Herhangi bir grafiğin için ile m kenarları, biz eşleşmeleri tekabül eden bir monoton azalan 2-SAT formülü oluşturmak - herhangi bir köşe paylaşmayan kenarları koleksiyonları - bir değişkenine x e her bir kenarına temsil bir kenar setine dahil edilip edilmediği; bir dizi özellik M ⊆ e eşleşen olmak sıklığı vektörüne eşdeğer x = χ M CNF formül tatmin cp maddeleri ile verilir ( ˉ x e ∨ ˉ x f$G = (V,E)$$m$$x_e$$M \subseteq E$$\mathbf x = \chi_M$$\phi$$(\bar x_e \vee \bar x_f)$bir tepe noktasını paylaşan her kenar çifti . Yapım gereği , ϕ , G grafiğinde (muhtemelen kusurlu) eşleşmeler olduğu kadar x ∈ { 0 , 1 } m kadar tatmin edici çözüme sahiptir .$e, f \in E$$\phi$$\mathbf x \in \{0,1\}^m$$G$

3. Eşleşmeleri saymak istediğimiz grafiği bipartit ise, o zaman tek bir döngü içermez - grafikte aynı kenarla başlayan ve biten bir kenar dizisi olarak tanımlayabiliriz (bu son kenarı iki kez saymadan) . Daha sonra değişken bir sekans bulunmaktadır x E , X f , x g , ... , x E içinde tek uzunlukta cp bitişik değişkenleri ortak bir madde dahil edildiği,. Daha sonra ϕ formülü daha önce tarif edildiği gibi iki taraflı olacaktır.$G$$x_e, x_f, x_g, \ldots, x_e$$\phi$$\phi$

4. Rasgele iki taraflı grafiklerde eşleşmeleri sayısını sayma, özellikle de, bir bipartit grafikte mükemmel eşleşmeleri sayısını saymak için kullanılabilir: bir giriş bitrarite grafiktir verilen , iki bipartitions ile bir , B ve aynı boyutta n , B'nin tüm köşelerine bağlı 0 ⩽ k ⩽ n ekstra köşeleri olan her yerde A'yı artırarak G k grafikleri oluşturabilir . Çünkü G'deki tüm eşleşmeler$G = (A \cup B, E)$$A, B$$n$$G_k$$A$$0 \leqslant k \leqslant n$$B$$G$Belirli bir boyutta Eşleme sayısı farklı şekillerde katkıda bulunurlar , Eşleme sayısını belirlemek için, bu bir sayarak G büyüklüğü n (mükemmel Eşleme kadardır,); ve bipartit grafiklerdeki mükemmel eşleşme sayısının sayılmasının, basit bir karşılık ile { 0 , 1 } matris kalıcılarının hesaplanmasına eşdeğer olduğuna dikkat edin .$G_k$$G$$n$$\{0,1\}$

#P -hard olarak gösterilen # 2-SAT örneklerinin sınıfı , o zaman monoton iki taraflı örneklerdir.

Soru: Bu ya da başka bir azalmanın sonucu olarak # P -tamamlanmış olan # 2-SAT'ın diğer özel durumları nelerdir?

Bir azalmanın gösterilmesine / gösterilmesine ek olarak, insanların özel durumun satsifiye edici atamaları saymak için doğal yaklaşımlara nasıl engel oluşturabileceğinin sezgisel bir nedenini tanımlaması ilginç olacaktır. Örneğin, MONOTONE-2-SAT önemsiz bir şekilde çözülebilir olsa da ( her zaman bir çözümdür), monoton örnekler, sabit bir değere bazı değişkenler atamanın rutin olarak kalan değişkenlere birçok kısıtlama getiremediğidir. Herhangi bir değişkeni x j = 0 sabitlemek, yalnızca bir cümle ile hemen ilgili değişkenlerin değerlerini kısıtlar; ve ayar x j = $\mathbf x = 1^n$$x_j = 0$$x_j = 1$diğer değişkenlerin olası değerlerini hiç kısıtlamaz. (Ancak, bipartit grafiklere karşılaştırılabilir kısıtlamanın aynı şekilde önemli olduğu açık değildir; bipartit kısıtlaması, onu kaldırmaktan ziyade yapı ekliyor gibi görünmektedir, ancak verimli bir şekilde sayılacak kadar yapı ekleyememektedir.)

Eklemek için düzenlendi. Ek noktaları, herhangi bir sınıf için verilecektir etmez 2.-bipartit SAT olan sertliği, yukarıda olduğu gibi, sonuçta monoton örnekleri varlığına bağlıdır ( görünüşe bağlı olarak dahil edilmesi #p özel bir durum -Sert 2. -MONOTONE-bipartit SAT). Örneğin, monotonik örneklere dayanmayan (ancak başka bir alt aileye dayanan) # 2-BIPARTITE-SAT sertliği argümanı ilginç olacaktır.

# 3-Normal İki Parçalı Düzlemsel Tepe Kapağı # P-Complete

Köşe kapaklarını saymak, bir monoton # 2-SAT örneğinin tatmin edici atamalarını saymakla tamamen aynı olduğundan, yukarıdaki sonuç, monoton ve 3-düzenli olan # 2-SAT örneğinin tatmin edici atamalarını saymanın # P-tam olduğu anlamına gelir. ve iki taraflı ve düzlemsel .

Bu da, daha önce soruda belirtilen iki # 2-MONOTONE-SAT ve # 2-BIPARTITE-SAT özel vakasına ek olarak, iki # 2-CUBIC-SAT ve # 2-PLANAR-SAT özel vakasının # P-tamamlandı.