Gödel'in Eksiklik Teoremlerinin Kilise Turing Teziyle İlişkisi

Bu naif bir soru olabilir, ama başlıyoruz. (Düzenleme - upvotes almıyor, ancak kimse de bir cevap sunmadı; belki de soru düşündüğümden daha zor, belirsiz veya belirsiz mi?)

Gödel'in İlk Eksiklik Teoremi, durma sorununun kararsızlığının bir sonucu olarak kanıtlanabilir (örn. Sipser Ch.6; Scott Aaronson tarafından yazılan blog yazısı ).

Anladığım kadarıyla (yorumlar tarafından onaylandı), bu kanıt Church-Turing tezine bağlı değildir . Tam ve tutarlı bir resmi sistemde bir Turing Makinesinin durma problemini çözebileceğini göstererek bir çelişki ortaya çıkarıyoruz. (Öte yandan, bazı etkili prosedürlerin durma problemine karar verebileceğini göstermiş olsaydık, çelişki elde etmek için Kilise Turing tezini de varsaymamız gerekirdi.)

Dolayısıyla, bu sonucun Kilise Turing tezi için biraz sezgisel destek sağladığını söyleyebiliriz, çünkü Turing Makinelerinin bir sınırlamasının evrensel bir sınırlama getirdiğini gösterir. (Aaronson'un blog yazısı kesinlikle bu görüşü destekliyor.)

Benim sorum tersine çevirerek daha somut bir şey kazanıp kazanamayacağımızdır: Gödel'in teoremlerinin Church-Turing tezi üzerinde hangi resmi etkileri vardır? Örneğin, İlk Eksiklik teoreminin keyfi bir Turing Makinesi'nin durup durmadığını belirleyemediğini ima ettiği sezgisel olarak mümkündür; akıl yürütme, böyle bir prosedürün varlığının tam $\omega$ tutarlı bir teori oluşturma becerisi anlamına gelebileceğini düşünebilir. Bu doğru mu? Bu çizgiler boyunca herhangi bir sonuç var mı?

(Merak ediyorum - kendim mantık çalışmıyorum - bu yüzden bunun iyi bilinen veya araştırma düzeyinde olup olmadığı için özür dilerim. Bu durumda, bunu bir referans isteği olarak düşünün! !)

Kulağa ilgili olan fakat olmayan soru: Kilise Teoremi ve Gödel'in Eksiklik Teoremleri

EDIT: Soruyu daha açık hale getirmeye çalışacağım! Birincisi - naif sezgim, Gödel'in Eksikliğinin en azından neyin hesaplanıp neyin hesaplanmayacağı konusunda bazı sınırlamalar getirmesi gerektiğidir . Bu sınırlamalar koşulsuz olacaktır, yani Turing Makineleri yerine tüm hesaplama modellerine uygulanmalıdır .

Bu yüzden bunun böyle olup olmadığını merak ediyorum ( bazı imalar olmalı , değil mi?). Varsayarsak, en etkili şekilde Kilise Turing Tezini nasıl etkilediğini merak ediyorum - etkili bir şekilde hesaplanabilir bir şeyin Turing Makinesi tarafından hesaplanabileceği fikri. Örneğin, bir Turing Makinesinin durup durmadığına karar vermek için etkili bir prosedürün varlığının İlk Eksiklik Teoremiyle çelişmesi mümkün görünmektedir. Bu sonuç hiçbir hesaplama yönteminin Turing Makinelerinden daha güçlü olamayacağını gösterecektir; ama bu sonuç doğru mu? Yorumlarda birkaç benzer sorum var. Bu sorulardan birine bir cevap, literatürdeki bir cevaba işaretçi, tüm akıl yürütmemin neden temelsiz olduğuna dair bir açıklama ya da başka bir yorum duymak isterim!

İşte sizi eğlendirebilecek felsefi bir cevap.

Gödel'in eksiklik teoremleri Peano aritmetiğinin biçimsel sistemiyle ilgilidir. Bu nedenle, hesaplama modelleri hakkında hiçbir şey söylemezler, en azından bir miktar yorum yapmadan.

Peano aritmetiği, hesaplanamayan fonksiyonların varlığını kolayca gösterir. Örneğin, Turing makineleri hakkında konuşacak kadar klasik bir teori olarak, her Turing makinesinin sonsuza kadar durduğunu veya çalıştığını söyleyen hariç tutulan orta örneğini gösterir. Bununla birlikte, Gödel'in çalışmasından önemli bir hesaplanabilirlik kavramı, yani (ilkel) özyinelemeli bir işlev ortaya çıktı . Yani hesaplanabilirliğe bağlanan teoremlerin kendileri değil, onları oluşturan kanıt yöntemi .

Eksiklik teoremlerinin özü, olasılık mantığı kullanılarak soyut bir biçimde ifade edilebilir.bu bir tür modal mantıktır. Bu, eksiklik teoremlerine Peano aritmetiği ve hesaplanabilirliğinin çok ötesinde geniş bir uygulanabilirlik aralığı sağlar. Belirli sabit nokta ilkeleri yerine getirilir getirilmez, eksiklik devreye girer. Bu sabit nokta ilkeleri, ayrılmaz ce kümelerinin varlığı anlamına gelen eksikliğe kurban giden geleneksel hesaplanabilirlik teorisi tarafından karşılanır. Peano aritmetik formunun ayrılmaz ce setlerinin kanıtlanabilir ve reddedilebilir cümleleri, geleneksel Gödel'in eksiklik teoremleri hesaplanabilirlikteki eksiklik fenomenlerine bir sonuç olarak görülebilir. (Felsefi olarak belirsizim ve beni bir matematikçi olarak anlamaya çalışırsanız başınız ağrıyor.)

Tüm bunların gayri resmi etkililik kavramıyla ("aslında hesaplanabilecek şeyler") nasıl ilişkili olduğuna dair iki tavır alabileceğimizi düşünüyorum:

1. Bildiğimiz kadarıyla, sınırsız sayılarla (gasp!) Hesaplayabilen "Turing makineleri" adı verilen kurgusal süper kahramanları düşünebilen oldukça büyük bir sonlu otomatız. Durum böyleyse, Gödel çok iyi bir hikaye anlatıcısıydı. Hikayelerinin etkililiğe nasıl dönüştüğü, o zaman hayal gücünün gerçeğe uygulanmasının (mutlaka yanlış) bir meselesidir.

2. Eksiklik fenomenleri doğal olarak birçok bağlamda ve kesinlikle makul tüm hesaplanabilirlik kavramlarında ortaya çıktığı için, bunun etkililik için de geçerli olması gerektiği sonucuna varıyoruz. Örneğin, bir Joel Hamkin'in sonsuz zamanlı Turing makinelerini hesaplamak için Turing makinelerini kara deliklere gönderebildiğimizi varsayalım . Bu bize durma kehanetinin bir anaokulu oyuncağı olduğu muazzam bir hesaplama gücü verir. Ancak yine de, model, takılabilir setlerin varlığını göstermemize izin veren temel koşulları karşılamaktadır. Ve dolayısıyla bir kez daha, hesaplama tamamen güçlü değildir ve eksiklik hayatın bir gerçeğidir.

Ben vurgu istiyorum Neel yorumun , durdurulduğu ve Godel'in eksiklik teoremleri hem karar verilemezlik ana araçlar şunlardır:

1. ispatlar, hesaplama vb. sözdizimsel kavramları sayılar / dizgiler ve ilişkiler / işlevler üzerinden kodlama;
2. Godel'in sabit nokta teoremi.

Sözdizimsel nesnelerin ve kavramların kodlanması bugün dijital bilgisayarlara alışkın olduğumuz açık gibi görünebilir, ancak evrensel bilgisayarlar ve yazılımlar için gerekli olan dahice bir fikirdir. Evrensel bir simülatörün varlığını kanıtlamak için gereken tek şey onun makalesinde.

Godel ayrıca bu sözdizimsel kavramları ve genellikle TM hesaplanabilir ilişkileri / fonksiyonları basit aritmetik formüllerle temsil edebildiğimizi gösterir.

Godel'in kısaca eksiklik kanıtı şöyledir:

$T$

1. $Provable_T(x)$$T$$x$$T$
2. $G$$\lnot Provable(x)$$T \vdash G \leftrightarrow \lnot Provable_T(\ulcorner G \urcorner)$

TM'ler için durdurma sorununun kararsızlığı benzer bileşenler kullanır:

1. Bir TM var TM tarafından kodlanan eğer tanır alıkoymalarla,$Halt(x)$$x$
2. TM st bulmak için sabit noktası iff kabul eder.$N$$N$$\lnot Halt(\langle M \rangle)$

Temsil çünkü TM'ler için durdurulması ile kararsızlık eksiklik verir içinde ve computably teoremlerini numaralandırabilmesidir ve eğer tamamlandıktan karşılık gelen formül kanıtlanabilir n olup olmadığını kontrol ederek Belirli bir TM'nin duraklamalara olup olmadığına karar olabilir içerisinde .$Halt(x)$$T$$T$$T$$T$

Bunun tersi de basittir: eğer bir teori ce ise, o zaman olasılık durma problemini kullanarak karar verilebilir, bu nedenle sadece olumsuzlamaları kanıtlanamayan daha fazla formül ekleyerek tam bir teori oluşturabiliriz. Bu nedenle, durdurma problemi karar verilebilirse, tam bir ce uzantısı olabilir .$T$$T$$T$

Kanıtlar çok benzerdir ve aynı bileşenleri kullanır (TM'lere daha aşina olan ancak mantıkla çok fazla olmayan biri için durdurma sorununun kararsızlığı daha basit görünebilir: kararsızlık kanıtında kullanılan sabit nokta teoreminin örneği daha basit görünebilir Godel teoreminde kullanılan sabit noktanın esasen aynı olmalarına rağmen belirli bir örneğidir, ancak temel fikirler sadece sözdizimsel nesneleri ve kavramları, sayıları / dizeleri ve formülleri / işlevleri kullanarak sabitlemek ve sabit nokta teoremini uygulamaktır).

Sana computability wrt oracle alabilir, sen teoremler için hesaplama güçlü modellerini kullanabilirsiniz düşünüyorum , kahin erişimi olan TM adlı için durdurulması problemi dikkate bir yüklem olan ve aritmetik düşünün grafiğini tanımlayan ve belitleri . ile ilgili hesaplanabilirlik için benzer bir duruma sahip olacağız .$O$$O$$P_O(x)$$O$$O$

ps:
Godel'in teoremlerinin 1931'de yayınlandığını, Turing'in kararsızlığının 1936'da yayınlandığını unutmayın. Godel'in makalesinin yayınlandığı tarihte, TM'nin tanımlanmadığı ve Godel başka bir eşdeğer model kullanıyordu. IIRC, Godel, Hilbert'in programının orijinal hedefini çözme sonucundan tamamen memnun değildi, çünkü kullandığı hesaplama modelinin algoritmik hesaplanabilirliğin sezgisel kavramını gerçekten yakaladığına ikna olmamıştı, ancak Turing'in TMs yakalama hakkındaki felsefi argümanından sonra memnun kaldı. algoritmik hesaplanabilirliğin sezgisel kavramı. Godel'in topladığı eserlerde bunun hakkında daha fazla bilgi edinebileceğinizi düşünüyorum.