PCP teoremi olmadan yaklaşımın sertliği

PCP teoreminin önemli bir uygulaması "yaklaşıklık sertliği" tipi sonuç vermesidir. Nispeten basit bazı durumlarda, PCP olmadan böyle bir sertlik kanıtlanabilir. Bununla birlikte, yaklaşım sonucunun sertliğinin ilk olarak PCP teoremi kullanılarak kanıtlandığı, yani sonucun daha önce bilinmediği, ancak daha sonra PCP'ye bağlı olmayan daha doğrudan bir kanıtın bulunduğu tespit edildi mi? Başka bir deyişle, önce PCP'nin gerekli göründüğü herhangi bir durum var mı, ancak daha sonra ortadan kaldırılabilir mi?

Bir örnek bu yazıdır:

Guruswami, V. ve Khanna, S. (2004). 4-renklendirme sertliği üzerinde 3-renklendirilebilir bir grafik. SIAM Ayrık Matematik Dergisi , 18 (1): 30-40. bağlantı

PCP-Teoremini kullanarak, Khanna, Linial ve Safra (2000) , sadece 4 renk kullanarak 3 renkli bir grafiği renklendirmenin NP-zor olduğunu kanıtladı. Daha sonra Guruswami ve Khanna (2004), diğer güzel şeylerin yanı sıra, aynı sonuç için PCP içermeyen bir kanıt verdi.

Yönlendirilmiş grafiklerdeki maksimum kenar ayrık yolları problemi için Ma & Wang (2000) ' in makalesi sırayla PCP teoremine dayanan etiket kapak problemine dayanıyordu. Daha sonra 2-ayrık yol problemi sertliği ile basit bir azalma Guruswami ve diğ. ark. (2003) bu da sertliği arttırmıştır.

Yaklaşık sayımdan örnekler vardır. Bir NP ilişkisinin tatmin edici atama sayısının yaklaşık olarak sayılması, yalnızca tatmin edici bir atama olup olmadığına karar vermekten daha zor olabilir, bu nedenle böyle problemler için sertlik kanıtlamak için PCP teoremine ihtiyaç duymaması şaşırtıcı değildir. Yine de, PCP teoremi bazen uygun bir başlangıç ​​noktası verir, örneğin, bu yazı için, yaklaşık olarak nadir bir grafikteki bağımsız kümelerin sayısını sayma hakkında: http://www.dcs.ed.ac.uk/home/mrj/papers/ DFJ02.pdf Daha sonra, Sly, Max-Cut'ın standart NP sertliğine bağlı olarak yaklaşık bağımsız setleri saymanın bir sertlik sonucu olduğunu gösterdi: http://arxiv.org/pdf/1005.5584v1.pdf

Önceki cevaplardan biraz farklı bir ruh hali içinde olan bir başka cevap, Uri Feige'in bu makalesidir: Ortalama Durum Karmaşıklığı ve Yaklaşım Karmaşıklığı Arasındaki İlişki .

Uri, ortalama problem varsayımlarının PCP teoreminin yerine bazı problemlerin yaklaşma zorluğunu kanıtlamak için kullanılabileceğini göstermektedir. Bununla birlikte, ortalama durum varsayımlarını nasıl kanıtlayacağımızı bilmediğimize ve standart NP-sertlik varsayımlarına dayanarak bunları kanıtlayamayacağımıza dair bazı kanıtlarımız olduğunu unutmayın (bkz. Feigenbaum-Fortnow, Bogdanov-Trevisan, vb.)