Konveks olmayan kuadratik programlama için kesin algoritmalar

Bu soru, kutu kısıtlamaları (kutu-QP) ile ikinci dereceden programlama problemleri, yani formun optimizasyon problemleri ile ilgilidir.

en aza indirmek tabi . $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{c}^T \mathbf{x}$ $\mathbf{x} \in [0,1]^n$

Eğer yarı-tanımlı olumlu oldu, sonra her şey kolay güzel ve dışbükey ve olurdu ve biz polinom zamanda bu sorunu çözebilirdi. $A$

Öte yandan, bütünlük kısıtlaması olsaydı, zamanında sorunu kolayca çözebiliriz kaba kuvvet ile. Bu sorunun amaçları açısından, bu oldukça hızlıdır. $\mathbf{x} \in \{0,1\}^n$ $O(2^n \cdot \mathrm{poly}(n))$

Peki dışbükey olmayan sürekli durum ne olacak? Genel kutu QP'leri için bilinen en hızlı algoritma nedir?

Örneğin, bunları ılımlı üstel zamanda çözebilir miyiz, örneğin, veya en iyi bilinen algoritmaların en kötü durum karmaşıklığı çok daha kötü mü? $O(3^n \cdot \mathrm{poly}(n))$

Arka plan: Aslında çözmek istediğim oldukça küçük kutu QP'lerim var ve çok küçük değerleri için bile bazı ticari yazılım paketlerinin ne kadar kötü performans gösterdiğini görmek biraz şaşırdı . Bu gözlem için bir TCS açıklaması olup olmadığını merak etmeye başladım. $n$

ds.algorithms optimization exp-time-algorithms

— Jukka Suomela
kaynak

PSD için bile tam olarak çözebilir misiniz ? Çözüm mantıksız olabilir, değil mi? Katkı maddesi kaybetmek isterseniz, yeterince ince bir ızgara üzerinde kaba kuvvet arama yaparak üstel bir zaman algoritması alabilirsiniz. Sadece belirsiz bir öneri.

A

$A$

ϵ

$\epsilon$

— Chandra Chekuri

Dezavantajı üssünün "tabanı" gibi bir şey olurdu , ama belki akıllı ızgara mühendisliği yardımcı olabilir "küçük"

1 / ϵ

$1/\epsilon$

n

$n$

— Suresh Venkat

@ChandraChekuri: Eğer başarabilirseniz yaklaşıklar gayet iyi, örneğin, . Bununla birlikte, böyle ince bir ızgara üzerinde kaba zorlama mümkün değildir.

ϵ = 10^{- 9}

$\epsilon = 10^{-9}$

— Jukka Suomela

Gerçek kapalı alanlarda nicelleştirici eleme ile bu sistemleri tam olarak çözmek her zaman mümkündür.

Eğer bırakılır, sadece birinci dereceden eniyilik kriterlerini yazarak küpün her bir yüzünde fonksiyonu optimize edilebilir.

O (3^{n})

$O(3^n)$

— Yoshio Okamoto

Bazı yüzlerde en uygun çözüm bulunur. Böylece, küpün tüm yüzlerinden geçebilir ve her yüzdeki tüm sabit noktaları bulabiliriz.

İşte daha somut bir prosedür. Küpün bir yüzü ve olmak üzere iki ayrık dizin kümesi ile karakterize . İçin , biz düzeltmek ve için biz düzeltmek . Let kalan sabitlenmemiş girişleri oluşur . Bu sabitleme objektif işlevi aşağıdaki forma dönüştürür: $I_0$ $I_1$ $i \in I_0$ $x_i = 0$ $i \in I_1$ $x_i = 1$ $\tilde{x}$ $x$

{\tilde{x}}^{⊤} \tilde{A} \tilde{x} + {\tilde{c}}^{⊤} \tilde{x} + d,

$\tilde{x}^{\top} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c}^{\top} \tilde{x} + d,$

uygun ve ve bazı sabit ile ve bu işlevin sabit noktalarını koşulu altında bulmak istiyoruz . $\tilde{A}$ $\tilde{c}$ $d$ $0 < \tilde{x} < 1$

Bu amaçla, elde etmek için objektif fonksiyonun farklılaşmasını alıyoruz

\frac{1}{2} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c} = 0.

$\frac{1}{2} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c} = 0.$

Bu lineer denklem sistemini çözmek size sabit noktaları, optimum çözümler için adayları verir. Hepsinden geçiyoruz, koşulu kontrol ediyoruz ve minimum objektif değeri olan birini seçiyoruz.

Toplam zaman karmaşıklığı şeydir, çünkü küpünün yüz sayısı ve doğrusal denklemler sistemi polinom zamanda çözülebilir. Uzay karmaşıklığı cinsinden polinomdur . $O(3^n \text{poly}(n))$ $n$ $3^n$ $n$

— Yoshio Okamoto
kaynak

Neden dışbükey olmayan bir ile bazı yüzlerde optimal bir çözüm yatmaktadır ?

f

$f$

— cody

@cody: Çünkü her politop, yüzlerinin ayrık birleşimidir.

— Yoshio Okamoto

Ya kübik ya da dörtlü ise? Bu mülk hâlâ mevcut mu?

f

$f$

— cody

@cody: Özellik hala geçerli, ancak birden fazla dereceden bir cebirsel denklemi çözmemiz gerekiyor. Korkarım bu çok değişkenli davalar için önemsiz değil.

— Yoshio Okamoto