Cai-Furer-Immerman aletlerinde otomorfizm

Weisfeiler-Lehman (WL) yöntemi ile grafik izomorfizmi için ünlü karşı örnekte, bu makalede Cai, Furer ve Immerman tarafından aşağıdaki gadget oluşturulmuştur . Tarafından verilen grafiği oluştururlar $X_k = (V_k, E_k)$.

$V_k = A_k \cup B_k \cup M_k \\ \text{ where } \\ \quad A_k = \{a_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \\ \quad B_k =\{b_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \mbox{ and } \\ \quad M_k = \{ m_S \mid S \subseteq \{1,2,\ldots, k\},\ |S| \text{ is even} \}\\ E_k =\{(m_S,a_i) \mid i \in S\} \cup \{(m_S, b_i)\mid i \notin S\}$

Kağıt lemmalarõn (lemma 3.1 sayfa 6) durumlarından biri biz köşe renklendirmek eğer ve b i renk ile ben o zaman | A u t ( X k ) | = 2 k - 1 (renk otomorfizm korunmuş olması gerekiyor) değiştirilerek her otomorfizma karşılık burada bir i ve b i her biri için i bir alt gruplarında S arasında { 1 , 2 , ... , k $a_i$$b_i$$i$$|Aut(X_k)| = 2^{k-1}$$a_i$$b_i$$i$$S$$\{1,2,\ldots, k\}$hatta kardinalite. İspatın derhal olduğunu söylüyorlar. Ama durumunda bile ne olduğunu göremiyorum . Gelen X 2 ( bir 1 , m { 1 , 2 } ) bir kenar ama otomorfizm varsa alışverişini olan bir 1 , b , 1 ve bir 2 , b 2 üzerinde kenar dönüştürülmüş olur ( b 1 , m { 1 , 2 }$k= 2$$X_2 \ (a_1, m_{\{1,2\}})$$a_1, b_1$$a_2, b_2$$(b_1, m_{\{1,2\}})$ki bu bir kenar değildir. Dolayısıyla bu bir otomorfizm olmamalıdır.

Yanlış anlaşılmamın ne olduğunu anlamak istiyorum.

Sen emptyset kaçırdığını tüm bağlanır b 's. Bir otomorfizm almak için, bir alt kümesi seçmek T ⊆ { 1 , . . . , K } o zaman bile cardinality ve takas bir i ile b i her i ∈ T ve daha sonra orta setleri ayarlar. Örneğin, grafik ( a 1 , { 12 } ) , ( a 2 , { 12 } ) $\emptyset$$b$$T\subseteq \{1,...,k\}$$a_i$$b_i$$i\in T$

Hala örnekte ise bir şey yapmanız gerekmez ve eğer T = { 1 , 2 } otomorfizma takas verilir bir 1 ile b 1 , bir 2 ile b 2 ve { 1 , 2 } ile ∅ .$T=\emptyset$$T=\{1,2\}$$a_1$$b_1$$a_2$$b_2$$\{1,2\}$$\emptyset$

Şimdi genel durum için, her zaman orta köşeleri ayarlamanın bir yolu olduğunu göstermeliyiz. bile kardinalitesi olduğunu biliyoruz . Öyleyse bırak | T | = 2 r . Sadece böyle bir otomorfizmanın | T | = 2 , aksi beri bileşimini uygulayabilir R bölümleme tekabül automorphisms T içine r büyüklüğü alt- 2 . Böylece T = { i , j } olduğunu varsayın . Sonra otomorfizm bir i ile$T$$|T|=2r$$|T|=2$$r$$T$$r$$2$$T=\{i,j\}$$a_i$ , bir j ile b j , her bir orta tepe$b_i$$a_j$$b_j$$S$ şekilde orta tepe ile S ∪ { i , j } (bu örnekte görülebilir) ve her alt küme S gibi bu S ∩ { i , j } = { i } alt kümesi ile bu şekilde S ∩ { i , j $S\cap\{i,j\}=\emptyset$$S\cup \{i,j\}$$S$$S\cap \{i,j\}=\{i\}$ ( Bunu k = 3 için görebilirsiniz). Bu takas işleminin bir otomorfizm olduğuna dikkat edin, çünkü p ≠ { i , j } endeksiiçin kenar ilişkisi$S\cap \{i,j\}= \{j\}$$k=3$$p\neq \{i,j\}$ , b p ile bu takas köşe tamamen korunur ve açık kenar ilişki bir i , bir j , b i , b j doğru şekilde ayarlanmıştır.$a_p$$b_p$$a_i,a_j,b_i,b_j$

Son olarak, bunların olası tek otomorfizmler olduğunu görmek için, her kendi rengiyle renklendiğine dikkat edin. Onlar başka çiftine eşlenemeyen Yani bir j , b j . Ayrıca, bazı a i'yi değiştirmeden orta bir tepe noktasını orta bir tepe noktasına eşleyen bir otomorfizmanın mümkün olmadığına dikkat edin.$a_i,b_i$$a_j,b_j$$a_i$ bazı ile . $b_j$$\square$