Güç kümesi üzerinde monoton bir yüklemin minimal elemanları

(dahil etme sırasına göre) güç kümesi üzerinde monoton bir yüklem düşünün . "Tekdüze" ile kastediyorum: , , eğer sonra . Ben tüm asgari unsurları bulmak için bir algoritma için arıyorum yani, öyle ki ama , . Genişliğine yana olduğu $P$ $2^{|n|}$ $\forall x, y \in 2^{|n|}$ $x \subset y$ $P(x)$ $P(y)$ $P$ $x \in 2^{|n|}$ $P(x)$ $\forall y \subset x$ $\neg P(y)$ $2^{|n|}$ $n \choose n/2$ , üstel olarak çok sayıda minimal öğe olabilir ve bu nedenle böyle bir algoritmanın çalışma süresi genel olarak üstel olabilir. Ancak, bu görev için çıktı boyutunda polinom olan bir algoritma olabilir mi?

[Bağlam: Daha genel bir soru soruldu , ancak yanıtlarda algoritmanın çıktı boyutundaki karmaşıklığını değerlendirme girişimi olmadı. Örneğin, yalnızca bir minimal öğe olduğunu varsayarsam, o zaman bu cevabı izleyerek bir ikili arama yapabilir ve bulabilirim. Ancak, daha az eleman bulmaya devam etmek istersem, hakkında sahip olduğum mevcut bilgileri $P$ , zaten bilinenlere zaman kaybetmeden aramaya devam etmeyi izleyebilecek bir şekilde tutmam gerekiyor. Bunu yapmak ve çıktı boyutunda polinom zamanındaki tüm minimal elemanları bulmak mümkün mü?]

İdeal olarak, bunun genel DAG'larla yapılıp yapılamayacağını anlamak istiyorum, ancak için soruyu nasıl cevaplayacağımı bilmiyorum $2^{|n|}$ .

— a3nm
kaynak

İçerme ile sıralanan güç kümesi DAG'dır ( in çeşitli kısımları köşeler olarak ve bir kenarı birbirine dahil olan parça çiftleri arasında bir kenarlıdır ve yalnızca bu grafiğin geçiş geçirgenliğinin ima ettiği gereksiz kenarları gidermek için geçişi azaltması). Aynı soruyu keyfi DAG'lar hakkında sormak doğal görünmektedir.

2^{| n |}

$2^{|n|}$

{1, . . ., n}

$\{1, ..., n\}$

— a3nm

Probleminiz öğrenme literatüründe "üyelik sorgularını kullanarak monoton fonksiyonları öğrenme" olarak bilinir. Kişinin tüm mintermleri tanımlayabildiği bir monoton fonksiyon sınıfı, "üyelik sorguları kullanılarak polinom olarak öğrenilebilir" olarak bilinir.

Bir polinom zaman algoritmasının varlığı hala açık gibi görünüyor. Schmulevich ve diğ. "Neredeyse tüm monoton Boole işlevlerinin üyelik sorguları kullanılarak polinom olarak öğrenilebilir olduğunu" kanıtlayın. Daha da gerektiriyorsa inci Minterm zaman polinom oluşturulabilir ve ile gösterildiği gibi, daha sonra bir sorun, monoton dualization eşdeğerdir Bioch ve Ibaraki . İşte monoton dualizasyona yönelik bir anket . $t$ $n$ $t$

— Yuval Filmus
kaynak

Bu son derece yararlı cevap için teşekkürler. Keyfi DAG'lara yönelik genellemelerden haberdar mısınız (yani, Eiter ve arkadaşlarının 5.2. Bölümündeki özel durumlardan daha fazlası)?

— a3nm

Hayır, maalesef değil.

— Yuval Filmus

Tamam, bu cevabı yine de kabul edeceğim. Ek açıklamalar: (1) bu cevap, değerlendirme sayısındaki karmaşıklık değil, hesaplama karmaşıklığıyla ilgilidir (bu son durum için cstheory.stackexchange.com/a/14862/4795'e bakın ) ve (2) tam açık soru "in polinom zamanda monoton bir boolean fonksiyonu öğrenebilir olduğunu ve asgari ve azami onun numarası", içinde polinom zamanda bunu yapmanın hiçbir umut yoktur maxima'nın doğrusal sayıda olabilir çünkü ile maksimumu sayısı ancak üstel sayıda minima (bkz. yukarıda bahsedilen ankette bkz. bölüm 6.1 paragraf 2).

P

$P$

n

$n$

n

$n$

— a3nm

Keyfi DAG'lar için küresel en kötü durum sorgu karmaşıklığı hakkında bilgi için diğer sorum cstheory.stackexchange.com/q/16258/4795 adresine bakın .

— a3nm

monoton dualizasyon (CNF ← → DNF) ve DAG'lar. juknas kitap boolean fonksiyon karmaşıklığı sn bir teorem gibi çok ses 9.4. "alt sınır kriteri"

— THM