Gürültü operatörünün bir uzantısı

16

Şu anda üzerinde çalıştığım bir problemde, gürültü operatörünün bir uzantısı doğal olarak ortaya çıkıyor ve daha önce iş olup olmadığını merak ettim. Öncelikle gerçek değerli Boole işlevlerinde temel gürültü operatörü 'i gözden . ve , st , işlevi verildiğinde , olarak $T_{\varepsilon}$ $f: \{0,1\}^n \to \mathbb{R}$ $\varepsilon$ $p$ $0 \leq \varepsilon \leq 1$ $\varepsilon = 1 - 2p$ $T_{\varepsilon} \to \mathbb{R}$ $T_{\varepsilon} f(x) = E_{y \sim \mu_p} [f(x+y)]$

$\mu_p$ üzerinde dağılımı bir her bir bit ayarlanmasıyla elde edilen olması bitlik vektörü olasılığı ile, bağımsız bir şekilde ve , aksi. Eşdeğer olarak, bu işlemi her bitini bağımsız olasılık ile çevirmek olarak düşünebiliriz . Şimdi bu gürültü operatörü, çarpımsal ve güzel özdeğerlere ve özvektörlere sahip olmak da dahil olmak üzere birçok yararlı özelliğe sahiptir ( burada parite esasına aittir). $y$ $n$ $1$ $p$ $0$ $x$ $p$ $T_{\varepsilon_1} T_{\varepsilon_2} = T_{\varepsilon_1 \varepsilon_2}$ $T_{\varepsilon}(\chi_S) = \varepsilon^{|S|} \chi_S$ $\chi_S$

Şimdi R_ olarak ifade ettiğim uzantımı tanımlayayım . , . Ama burada bizim dağıtım biz çevirmek şekildedir bit için olasılık ile ve bit için olasılık ile . ( artık açık bir şekilde bir dağıtım bağlıdır ve eğer işlev değerlendirilir $T_\varepsilon$ $R_{(p_1,p_2)}$ $R_{(p_1,p_2)} \to \mathbb{R}$ $R_{(p_1,p_2)} f(x) = E_{y \sim \mu_{p,x}} [f(x+y)]$ $\mu_{p,x}$ $1$ $x$ $0$ $p_1$ $0$ $x$ $1$ $p_2$ $\mu_{p,x}$ $x$ $p_1 = p_2$ ardından 'normal' gürültü operatörüne düşer.) $R_{(p_1,p_2)}$

Merak ediyordum, bu operatör zaten literatürde bir yerde iyi çalışılmış mı? Yoksa temel özellikleri belli mi? Ben sadece Boole analizine başlıyorum, bu yüzden bu teoriyi benden daha iyi bilen birine basit olabilir. Özellikle, özvektörlerin ve özdeğerlerin hoş bir karakterizasyonu olup olmadığı veya herhangi bir çarpma özelliği olup olmadığı ile ilgileniyorum. $R_{(p_1,p_2)}$

boolean-functions fourier-analysis

— emir
kaynak

14

Sorunun ikinci kısmını cevaplayacağım.

I. Özdeğerler ve Özfonksiyonlar

Önce boyutlu bir durumu ele alalım . operatörünün iki öz olduğunu kontrol etmek kolaydır : ve , özdeğer ve . $n=1$ $R_{p_1,p_2}$ $1$

ξ (x) = (p_{1} + p_{2}) x - p_{1} = {\begin{cases} - p_{1}, & if x = 0, \\ p_{2}, & if x = 1. \end{cases}

$\xi(x) = (p_1+p_2)x - p_1 = \begin{cases} -p_1, &\text{ if } x =0,\\ p_2, &\text{ if } x =1. \end{cases}$

1

$1$

1 - p_{1} - p_{2}

$1-p_1 - p_2$

Şimdi genel durumu düşünün. İçin , izin . nin bir özfonksiyonu olduğunu gözlemleyin . Gerçekten de tüm değişkenleri bağımsız olduğu için $S\subset \{1,\dots,n\}$ $\xi_S(x) = \prod_{i\in S} \xi(x_i)$ $\xi_S$ $R_{p_1,p_2}$ $x_i$

\begin{aligned} R_{p_{1}, p_{2}} (ξ (x)) & = R_{p_{1}, p_{2}} (\prod_{i \in S} ξ (x_{i})) = \prod_{i \in S} R_{p_{1}, p_{2}} (ξ (x_{i})) \\ = \prod_{i \in S} ((1 - p_{1} - p_{2}) ξ (x_{i})) = (1 - p_{1} - p_{2})^{| S |} ξ_{S} (x) . \end{aligned}

$\begin{align*} R_{p_1,p_2}(\xi(x)) &= R_{p_1,p_2}\left(\prod_{i\in S} \xi(x_i)\right) = \prod_{i\in S} R_{p_1,p_2}(\xi(x_i)) \\ &= \prod_{i\in S}\left((1-p_1 - p_2)\xi(x_i)\right) = (1-p_1 - p_2)^{|S|} \xi_S(x). \end{align*}$

Biz o olsun bir özfonksiyonu olan , özdeğeri her için . işlevleri tüm alanı kapladığından, in başka özfonksiyonu yoktur (bunlar doğrusal kombinasyonları değildir ). $\xi_S(x)$ $R_{p_1,p_2}$ $(1-p_1-p_2)^{|S|}$ $S\subset \{1,\dots,n\}$ $\xi_S(x)$ $R_{p_1,p_2}$ $\xi_S(x)$

II. Çarpımsal Özellik

Genel olarak, "çoğaltıcı özellik" için geçerli değildir çünkü ' ve bağlıdır . Ancak, burada ve . Bunu doğrulamak için, önce ve nin aynı özfonksiyon kümesine . Biz sahip yana $R_{p_1,p_2}$ $R_{p_1,p_2}$ $p_1$ $p_2$

R_{p_{1}, p_{2}}^{2} = R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}},

$R_{p_1,p_2}^2 = R_{p_1',p_2'},$

p_{1}^{'} = 2 p_{1} - (p_{1} + p_{2}) p_{1}

$p_1' = 2p_1- (p_1+p_2)p_1$

p_{2}^{'} = 2 p_{2} - (p_{1} + p_{2}) p_{2}

$p_2' = 2p_2- (p_1+p_2)p_2$

R_{p_{1}, p_{2}}

$R_{p_1,p_2}$

R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}

$R_{p_1',p_2'}$

{ξ_{S}}

$\{\xi_S\}$

R_{p_{1}, p_{2}}^{2} (ξ_{S}) = (1 - p_{1} - p_{2})^{2 | S |} ξ_{S} = (1 - p_{1}^{'} - p_{2}^{'})^{| S |} ξ_{S} = R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}} (ξ_{S})

$R_{p_1,p_2}^2(\xi_S) = (1-p_1-p_2)^{2|S|} \xi_S=(1-p_1'-p_2')^{|S|}\xi_S = R_{p_1',p_2'} (\xi_S)$

\begin{aligned} 1 - p_{1}^{'} - p_{2}^{'} & = 1 - p_{1} \cdot (2 - (p_{1} + p_{2})) - p_{2} \cdot (2 - (p_{1} + p_{2})) \\ = 1 - (p_{1} + p + 2) (2 - (p_{1} + p_{2})) \\ = 1 - 2 (p_{1} + p_{2}) + (p_{1} + p_{2})^{2} = (1 - p_{1} - p_{2})^{2} . \end{aligned}

$\begin{align*} 1-p_1'-p_2' &= 1 - p_1\cdot (2- (p_1+p_2)) - p_2\cdot (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - (p_1+p+2) (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - 2(p_1 +p_2) + (p_1 + p_2)^2 = (1-p_1-p_2)^2. \end{align*}$

III. Bonami ile ilişki - Beckner operatörü

ile arasındaki işlevleri çoklu doğrusal polinomlar olarak düşünelim . Let . operatörünü düşünün Her çok hatlı polinomu çok hatlı polinom eşleştirir . Biz, burada . Bölüm I ve II'nin bu formül ve Bonami-Beckner operatörünün özelliklerini izlediğini unutmayın. $\{0,1\}^n$ ${\mathbb R}$ $\delta = \frac{1}{2}\cdot \frac{p_1-p_2}{p_1+p_2}$

A_{δ} (f) = f (x_{1} + δ, \dots, x_{n} + δ) .

$A_{\delta}(f) = f(x_1 + \delta, \dots, x_n + \delta).$

f

$f$

A [f]

$A[f]$

R_{p_{1}, p_{2}} (f) = A_{δ}^{- 1} T_{ε} A_{δ} (f),

$R_{p_1,p_2}(f) = A_{\delta}^{-1} T_{\varepsilon}A_{\delta}(f),$

ε = 1 - p_{1} - p_{2}

$\varepsilon = 1 - p_1 - p_2$

— Yury
kaynak

Yury, cevap için teşekkürler! Bu benim için iyi bir başlangıç noktası; Şimdi hiper büzülme eşitsizliğinin analogları varsa çalışabilmeliyim. Daha ilginç bir analiz alırsam buraya geri göndereceğim.

— Amir

Bu çok uzun bir süre sonra, ama üçüncü kısmı ve Becker Bonami operatörü ile olan ilişkisini nasıl türettiğinizi merak ediyorum?

— Amir

(a) ve kimliğini kontrol etmek yeterlidir . ve için , tüm karakterler için geçerli olduğunu görmek kolaydır. Doğrusallık ile, tüm fonksiyonlar için geçerlidir. (b) Alternatif olarak, I, ve aynı özdeğer kümesine sahiptir; özvektör arasında özvektörü için “karşılık gelen” arasında . Böylece burada A, ile eşleyen doğrusal bir haritadır .

f = 1

$f=1$

f = x_{i}

$f=x_i$

1

$1$

x_{i}

$x_i$

T_{ε}

$T_\varepsilon$

R_{p_{1}, p_{2}}

$R_{p_1,p_2}$

\prod_{i \in S} x_{i}

$\prod_{i\in S} x_i$

T

$T$

\prod_{i \in S} ξ (x_{i})

$\prod_{i\in S} \xi(x_i)$

R

$R$

R (f) = A^{- 1} T A (f)

$R(f) = A^{-1} T A(f)$

ξ (x)

$\xi(x)$

x

$x$

— Yury

3

Biz hypercontractive özelliklerini analiz sonunda mümkün ( http://arxiv.org/abs/1404.1191 ), ana Fourier analizinin kapalı bina Ahlberg, Broman, Griffiths ve Morris ( http://arxiv.org/abs/1108.0310 ). $R_{p_1, p_2}$ $R_{p,0}$

Özetlemek gerekirse, önyargılı bir operatörün bir fonksiyon üzerindeki etkisi, sapmalı bir ölçüm alanında simetrik bir gürültü operatörü olarak analiz edilebilir. Bu bağlıdır hypercontractivity zayıf bir formunu verir normu yanlı ölçer bir seçim geçildiğinde değişir bağımlı . $R_{p,0}$ $f$ $\ell_2$ $f$ $\mu$ $p$

— emir
kaynak

Soru cevaplanmaya devam etmeyecek şekilde bu cevabı 'kabul etmek' isteyebilirsiniz (feragatname: Bağlantılı kağıtta yazarım)

— Suresh Venkat