Doğal Prova ve Geometrik Karmaşıklıkta Yapısallık

Son zamanlarda, Ryan Willams, Doğal karmaşıklık sınıflarının ayrılmasını sağlamak için kaçınılmaz olduğunu kanıtladı: ve . $\mathsf{NEXP}$$\mathsf{TC}^{0}$

Doğal , devre karmaşıklığındaki tüm birleşimsel kanıtların yerine getirdiği ve (veya başka bir "zor" karmaşıklık sınıfında) hedef işlevinin , çalışan bir algoritma tarafından "zor" bir özelliğe sahip olup olmadığına karar Hedef fonksiyonun doğruluk tablosunun uzunluğundaki poli-zaman içinde.$\mathsf{NEXP}$

Diğer iki koşul şunlardır: "zor" özellik gerektiren bir işe yaramaz durum, herhangi bir devre ile hesaplanamaz ve zor özelliğin bulunmasının kolay olduğu ile hesaplanamaz .$\mathsf{TC}^0$

Sorum şu:

Bu sonuç, örneğin, ana ayrıştırma sorunlarını çözmek için kullanılamaz geometrik karmaşıklığı Theory (GCT) ediyor mu v , v , veya vs ?$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{TC}^0$

Referanslar:

• Ryan Williams, " Doğal Kanıtlara Karşı Derandomizasyon "

Resim, constructivity kaçınılmazlığından yine devam yapraklar gibi alt sınır sorunları saldırı uygun bir plan olarak açık GCT $NP$ genel $P/poly$ .

Birincisi, Ryan'ın yapıcılık konusundaki sonucunun, lezzet olarak Mulmuley tarafından "Flip Theorems" olarak adlandırılana çok benzer olduğunu söylemek gerekir, örneğin, eğer kalıcı olarak poli-boyut aritmetik devreleri yoksa, o zaman (polynomially çok) matrislerin rastgele poli-zaman inşa edilebilir grubu şekilde, bu matrisler bir kalıcı her küçük devre farklıdır. Bkz. Açık Kanıtlar ve Kapak, Teknik Rapor, Bilgisayar Bilimleri Bölümü, Chicago Üniversitesi, Eylül 2010 , Mulmuley.$\{M_1, \dotsc, M_{p(n)}\}$

İkincisi, GCT'deki simetri karakterizasyonunun (zaten siuman tarafından bahsedildiği) merkezi olması Regan'ın araştırmasından bu yana daha belirgin hale geldi. Simetri karakterizasyonu, göründüğü kadarıyla GCT için çok önemli olduğu ortaya çıkarsa, o zaman bu zaten büyüklük durumunun üstesinden gelir. Simetri karakterizasyonu tanımı için yakından ilgili bir önceki soruya verilen cevaba bakınız .

Simetri-karakterizasyon büyüklüğünü ihlal ettiğini bir kanıtı için, Kısım 3.4.3 yılında "Simetri-karakterizasyonu Razborov-Rudich bariyerini ortadan kaldırır" bkz tezim (utanmaz bir öz fişler, ama öyle tamamen başka bir yerde yazmış nerede bilmiyorum) . Yapıcılığını da ihlal ettiğinden şüpheleniyorum, ancak bunu açık bir soru olarak bıraktım. (Bölüm 3'ün önceki bölümlerinde, GCT'deki flip teoremlerine ve bunların simetri karakterizasyonu ile nasıl ilişkili olduğuna da genel bir bakış vardır.)

(Simetri-karakterizasyonunun - Razborov'un etrafını dolaşan GCT'de kullanacağımızdan şüphelendiğimiz özellik - Rudich'in ilginç olduğunu düşünüyorum - temelde yapıcılığın gerekli olduğunu söyleyen flip teoremlerini ispatlamak için kullanılıyor.)

Son olarak, bu adres için uzun vadede GTT amaçları her ne kadar bu söz değer olan karşı P / p O l y GCT moment çok iş ve Boolean problemleri, bu tür kompleks olarak üzerinde bu cebirsel analogları, odaklanmıştır Sayıları ve henüz Razborov - Rudich (bildiğim) cebirsel bir analogu yoktur.$NP$$P/poly$

İlk önce olası bir yanlış anlaşılmayı düzelteyim: Maalesef henüz bilmiyoruz ki . Benim en son alt sınır arasında olması K E X- P ∩ c O , N D x P ⊄ bir Cı Cı .$NEXP \not\subset TC^0$$NEXP \cap coNEXP \not\subset ACC$

Şimdi, sorunuzun cevabı hayır. GCT göre teknikler ayırabilir hala çok mümkündür den , N , P .$P$$NP$

Bununla ilgili birkaç yorum: GCT ve Doğal Kanıtlar arasındaki ilişki geçmişte tartışılmıştır (orijinal GCT makalelerinde bile). GCT yaklaşımı ile “yapıcılık” veya “büyüklük” den hangisinin ihlal edileceği konusunda fikir birliğine varılmış gibi görünmemekle birlikte, Mulmuley ve Sohoni bir noktada GCT'nin gerçekleştirilebilmesi durumunda büyüklüğünü ihlal etmesi gerektiğini savundu. İlgili bir referans için, Regan'ın GCT'ye genel bakışının 6. Bölümüne bakınız . Ancak, bu genel bakışın zaten 10 yaşında olduğunu ve o zamandan beri GCT'ye kayda değer miktarda çalışma yapıldığını da eklemeliyim; Bu konuda herhangi bir gözden geçirilmiş / yeni görüş olup olmadığından emin değilim. (Belki de Josh Grochow içeri girebilir mi?)

Kısa cevap Hayır .

Geometrik Karmaşıklık Teorisi yaklaşımı, Mulmuley'in Razborov ve Rudich tarafından tanımlandığı gibi "büyük" olmadığını iddia ettiği son derece nadir özellikleri hedef alıyor. Resmi bir tartışma için, bkz. Joshua Grochow'un tezi , Bölüm 3.4.3 Simetri-karakterizasyonu, Razborov-Rudich engelini ve cevabını önler .

Aşağıdaki paragraf On P-NP ve Geometrik Karmaşıklık Teorisinden Ketan Mulmuley ( JACM 2011 veya el yazması ), Bölüm 4.3 A Yüksek Seviye Planı'ndan alınmıştır :

Amaç, bu adımları açıkça uygulamak, karakterizasyonu kalıcı ve determinant simetrileriyle kullanmak. Daha sonra ne ifade edeceğini açıklayacağız; bakınız Hipotez 4.6. Bu yaklaşım, sadece simetrileri ile nitelendirilen son derece nadir zor fonksiyonlar için çalıştığı anlamında son derece katıdır. Bu aşırı sertlik, doğal geçirmez bariyeri atlamak için gerekenden çok daha fazladır [Razborov ve Rudich 1997].

Hem yapıcılık hem de genişlik koşulları, doğal bir ispat için (yararlılığın ima edildiği durumlarda) gerekli olduğundan, yapıcılığın kaçınılmaz olduğunu kanıtlamak, bu tür yaklaşımları dışlamak için yeterli değildir (ileriye doğru büyük bir adım).