Tüm köşe eşleşmelerinde minimum yayılan ağaç

Ben bir polinom zaman algoritması yazamıyorum bu eşleşen sorunla karşılaştı.

İzin Vermek $P, Q$ tepe kümeleri ile tam ağırlıklı grafikler $P_V$ ve $Q_V$, sırasıyla, nerede $|P_V| = |Q_V|=n$. Ayrıca,$w_P$ ve $w_Q$ kenarlarındaki ağırlık fonksiyonları $P$ ve $Q$, sırasıyla.

Bijection için $f: P_V \to Q_V$ değiştiririz $Q$ aşağıdaki şekilde: $f(p) = q$ ve $f(p^\prime) = q^\prime$ ile $w_P(p, p^\prime) > w_Q(q, q^\prime)$ sonra ayarla $w_Q(q, q^\prime) = w_P(p, p^\prime)$. Bu değiştirilmiş grafiği şu şekilde göster:$Q_f$ ve bırak $W(Q_f)$ asgari yayılma ağacının ağırlıklarının toplamı olmak $Q_f$.

Sorun: Küçült$W(Q_f)$ tüm tekliflerde $f: P_V \to Q_V$.

Bu sorun ne kadar zor? "Zor" ise: Yaklaşım algoritmaları ne olacak?

(Yorumlardan taşındı) İşte P ve Q'nun üçgen eşitsizliğini karşıladığını varsayarak sabit bir faktör yaklaşımı elde etmek için bir fikir. Ben 2-yaklasiklik verebilecegini düsünüyorum, ama ispat edebilecegim tek sey 4 yaklasiklik oranidir.

(1) Belirtildiği gibi problemde, kenar ağırlığı $pq$ birleşik grafikte (yazışmadan sonra) $p$-$p'$ ve $q$-$q'$ belirlenir) $\max\{P(pq),Q(p'q')\}$. Bunun yerine . Bu en fazla iki faktör kaybeder, ancak problemi tarif etmeyi kolaylaştırır: şimdi bir yayılan ağaç ve minimum toplam ağırlık ile bir izomorfik yayılan ağaç bulmaya çalışıyoruz . ve arasındaki yazışma daha sonra bu iki ağaç arasındaki izomorfizm tarafından verilir.$P(pq)+Q(p'q')$$P$$Q$$P$$Q$

(2) , minimum yayılan bir ağaç bulun ve ağırlığın en fazla iki katı olan bir yol bulmak için yol iki katına çıkaran Euler tur tekniğini kullanın. Aynı şeyi bağımsız olarak yapın . Sonuç, grafiklerinin MST'lerinin ağırlığının en fazla iki katı olan iki izomorfik ağaç (her iki yol) ve dolayısıyla minimum izomorfik yayılan ağaç problemine çözümün maliyetinin en fazla iki katı ve orijinal sorunun ağırlığının dört katıdır. .$P$$Q$

(3) Orijinal problem, Hamilton yolunda bir azalma ile NP-tamdır. , Hamilton yolunun varlığını test etmek istediğiniz bir grafikten tanımlanmasına izin verin ; tanımlar olduğunda bir kenar ve olduğunda bir kenar değil. bir yol grafiğiyle tam olarak aynı şekilde tanımlanmasına izin verin . Daha sonra, sadece tanımlandığı grafiğin bir Hamilton yolu varsa, toplam maliyet bir çözümü vardır. Muhtemelen bu, sabit bir sabitin altında uyumsuzluğu kanıtlamak için de kullanılabilir.$P$$P(pq)=1$$pq$$P$$2$$pq$$Q$$n-1$$P$