Kısa cevap : Eğer gruplar, halkalar ve alanların bir az şey gördüm bir kez matematik gerçekten asgari bilgi, GTT'nin planın ilk yarısını anlamak için temelde 3 üncü bölümünde düzenlendiği benim tez (utanmazsın öz fiş ). Bununla birlikte, bu bölüm eksiktir, çünkü temsil teorisine bir şeyin parçası olamıyorum. Temsil teorisi, planın ikinci yarısı için çok önemlidir (bu yüzden bu bölümü dahil etmek için genişletmeye çalışıyorum).
Eğer gerçekten GTT'nin, içine almak istiyorsanız Goodman ve Wallach Simetri, Representations ve İnvariantlar ve Eylemler ve W. Ferrers Santos tarafından Cebirsel Gruplarının İnvariantlar hem nispeten kendine yeten ve GTT'nin ilgili olduğunu çok güzel bilgiler var. Öğrenecek en iyi kaynak olup olmadıklarından emin değilim, çünkü yalnızca bu materyali öğrendikten sonra öğrenmiştim, fakat GCT ile ilgili olanın kapsamı bakımından iyi. Fulton ve Harris, temsil teorisi için mükemmeldir ve kitaptaki birçok örnek / alıştırma GCT ile ilgilidir.
Daha uzun cevap : Vijay'in belirttiği gibi, gerçekten GCT hakkında ne kadar bilgi edinmek istediğinize bağlı. Aşağıdaki başlıklar, tam da bence gerekli olan arka plan olduğunu düşünüyorum . Bunun tam bir liste olduğundan emin değilim - GCT'deki bazı makaleleri okumayı denemenizi tavsiye ederim ve kaybolduğunuzda arkaplan materyallerine bakın. Arka plan materyalini öğrenirken, çoğu zaman GCT belgelerine geri dönün ve daha sonra takip edip edemediğinizi görün.
(Ne öğrenmek istediğinize bağlı olarak, aslında Zeyu’ya ilk önce bazı lisanslı cebirleri denemelisiniz, buna rağmen GCT öğrenmede bir noktada bu gerekli olacaktır.)
Örneğin, Mulmuley'in FOCS makalesini anlamak istiyorsanız, şunu anlamak istersiniz:
- sertlik ve rastgelelik ilkesi (bkz. Impagliazzo - Kabanets ve belki de Bill Gasarch'ın sertlik ve rastgelelikle ilgili makaleleri listesi )
- Hilbert'in Nullstellensatz ve Noether Normalizasyon Lemmalarına kadar temel cebirsel geometri. Bunlar cebirsel geometri ile ilgili herhangi bir temel ders kitabında ve muhtemelen ders notlarında bulunabilir.
- Bazı klasik değişmez teori (bu makalede jeometrik değişmez teoriye, şemalara ve Mumford-Fogarty-Kirwan kitabına gerçekten ihtiyacınız yok). Sturmfels'in Invariant Theory'deki kitabı Algoritmaları akla geliyor.
- Kağıt bazı sonuçlar için, ancak genel olarak kağıt hiçbir şekilde, aşağıdakilerden bir isteyebilir (ve bu referanslar aynı zamanda kağıt bulunabilir) temsil teorisi olarak Fulton ve Harris , matris değişmezler ilgili sonuçlar [ Artin, Procesi, Razymslov], ...SLn
GCT yaklaşımının genel ana hatlarını anlamak istiyorsanız, ancak bazı matematiksel ayrıntıları öğrenmek isterseniz :
Kalıcı ve belirleyici problem. # Kalıcılığın P-bütünlüğü ve determinantın GapL-bütünlüğü. Agrawal'ın bu konuda iyi bir anketi var (sadece biraz modası geçmiş) ve bütünlüğün kanıtları, Burgerer'in Cebirsel Karmaşıklık Teorisindeki Bütünlük ve Azalmalar kitabında bulunabilir .
Gruplar ve grup eylemleri (cebirsel gruplar ve cebirsel grup eylemleri faydalıdır, ancak bu düzeyde gerekli değildir). Orbit-Stabilizer Teoremini anlamalısınız.
Hilbert'in Nullstellensatz'i kullanarak cebirsel geometriyi affine edin. Temel olarak, sadece afin cebirsel çeşitleri ve onların koordinat halkaları arasındaki uyuşmazlığı anlamanız gerekir.
Fulton ve Harris’te olduğu gibi temel temsil teorisi . Temel tanımların yanı sıra, bu temsillerin tamamen indirgenebilirliğini ve gösterimlerinin bölümlere göre sınıflandırıldığını bilmeniz gerekir, ancak ikincisinin ispatını / yapılarını bilmek zorunda değilsiniz.GLnGLn
Neler olup bittiğini derinlemesine anlamak istiyorsanız (ve henüz orada olacağımı iddia edebileceğimden emin değilim, ama oraya ulaşmak için neleri bilmem gerektiğini bildiğimi sanıyorum), muhtemelen şunu da anlamalısınız:
İndirgeyici cebirsel grupların yapısı ve yörünge temsillerinde kapanır. Gibi W. Ferrers Santos kitabından bunun için değil, aynı zamanda Borel tarafından Lineer Cebirsel Gruplar , Weyl tarafından Klasik Gruplar ve diğer klasikleri.
Luna-Vust makineleri (Luna'nın Dilim Teoremi, Luna-Vust karmaşıklığı)
Tannakian Duality ( Deligne - Milne'nin makalesine bakınız ; kategori teorisi ve cebirsel grupları affine etmeksizin biraz okumak zor olacaktır). Bu, esasen “(pro-) affine cebirsel gruplarının temsilleri tarafından belirlendiğini” söylüyor. Bir grubun temsil kategorisinden nasıl kurtarılacağı kadar tüm makaleye ihtiyacınız olduğunu sanmıyorum (Kor. 3.4).
Özellikle cebirsel grupların koordinat halkalarına ve yörüngesindeki kapanmalarına uygulandığında daha fazla temsil teorisi . Bunun için Goodman ve Wallach'ın kitabını gerçekten çok seviyorum , özellikle de temelde kendi kendine yeten ve GCT'yi anlamak için tam da ihtiyacınız olan şey. (Ayrıca, Fulton ve Harris'teki açıklayıcı / yan bölümlerin ve alıştırmaların birçoğu, özellikle Littlewood-Richardson ve Kronecker katsayıları hakkında olmak üzere, GCT'nin tam üzerindedir.)
Eğer aslında temsil teorisi üzerinde çalışmak istiyorsanız , muhtemelen daha fazla cebirsel birleştirici / birleştirici gösterim teorisini anlamak istersiniz. Bunun için tüm doğru referansları gerçekten bilmiyorum, ama kesinlikle Littlewood-Richardson kuralını anlamak bir zorunluluktur ve Fulton'un kitabı Young Tableaux bunun için iyidir.
Bildiğim şeylerin bu tarafındaki en son makaleler Blasiak , Kumar ve Bowman, De Visscher ve Orellana .
Hangi yöne girmek istediğinize bağlı olarak, zorunlu olarak gerekli olmamakla birlikte, kuantum gruplarına bakmak isteyebilirsiniz (not: bunlar özel bir grup durumu değil, belirli bir yöndeki genellemedir).
Şeylerin daha geometrik tarafında , sen teğet ve öskülatör boşluklar, eğrilik, çift çeşitleri için diferansiyel geometri gibi şeyler içine bakmak isteyeceksiniz ve alt bilinen nedeniyle perma vs det üzerinde tutunan, en temel olan, benzeri Mignon --Ressayre ve ardından Landsberg - Manivel - Ressayre . ( Mignon - Ressayre , bunların hiçbiri olmadan anlaşılabilir, ancak kağıtlarını belirli çeşitlerin eğriliğini inceleyerek gevşek bir şekilde görebilirsiniz; daha az gevşek bir görünüm için, Landsberg - Manivel - Ressayre'deki çift çeşitlerin kullanımına bakınız . ) (Ayrıca Mignon - Ressayre'ı tüm tuhaf özelliklere genişleten Cai, Chen ve Li'ye bakın.) Ayrıca Landsberg ve Kadish'e bakın .
GCT'nin matris çarpımına yaklaşımıyla ilgileniyorsanız, hepsi tensör sırası, sınır sırası ve sekant çeşitleri ile ilgilidir. Burgisser - Ikenmeyer , Landsberg ve Ottaviani , Landsberg , Landsberg'in anketi ve kitabının makalelerine bakmayı öneriyorum . Elbette, matris çarpımında klasik şeyleri de bilmek iyi olurdu (hem üst hem de alt sınırlar), ama bu tamamen ayrı bir kurtçuk kutusudur.