Bir DAG'da kaç tane ayrık kenar kesimi olmalı?

Aşağıdaki soru Bellman-Ford $s$ - $t$ en kısa yol dinamik programlama algoritmasının optimalliği ile ilgilidir ( bağlantı için bu yazıya bakınız ). Ayrıca, olumlu bir cevap , STCONN problemi için monoton belirsiz bir dallanma programının minimal boyutunun Θ ( n 3 ) olduğu anlamına gelecektir . $\Theta(n^3)$

Let $G$ bir kaynak düğümü olan bir DAG (yönlendirilmiş asiklik grafik) olmak $s$ ve bir hedef düğüm $t$ . Bir $k$ - kesilmiş olan kaldırma tüm yok kenarlarının bir dizi, $s$ - $t$ uzunluğu yolları $\geq k$ ; G'de böyle yollar olduğunu varsayıyoruz $G$. Daha kısa $s$ - $t$ yollarının yok edilmesi gerekmediğini unutmayın .

Soru: mu $G$ en az (yaklaşık) olması gerekir $k$ ayrık $k$ -cuts?

Hiçbir varsa $s$ - $t$ daha yolları kısa $k$ aşağıdaki bilinen min-max gerçeği (bir çift var çünkü, cevap, EVET ise Menger'in teoremi ) Robacker atfedilen ^$\ast$ . Bir $s$ - $t$ kesimi k = 1 için bir $k$ kesimidir ( tüm s - t yollarını yok eder ).$k=1$ $s$$t$

Gerçek: Herhangi bir yönlendirilmiş grafikte, maksimum kenar-ayrık $s$ - $t$ kesme sayısı bir s - t yolunun minimum uzunluğuna eşittir . $s$$t$

Bu grafik olsa bile bulundurduğunu unutmayın değil asiklik.

İspat: Önemsiz olarak, minimum en azından maksimumdur, çünkü her s - t yolu bir kenardaki her s - t kesimini keser. Eşitliği görmek için, izin d ( u ) bir kısa yolun uzunluğu s için u . Let u r = { u : d ( u ) = r } için r = 1 , ... , d ( t ) ve izin e $s$$t$$s$$t$$d(u)$$s$$u$$U_r=\{u\colon d(u)=r\}$$r = 1,\ldots, d(t)$$E_r$U r bırakarak kenarlar kümesi olun . Kümeler açıktır e r setleri için, ayrık olan u r şekildedir. Bu nedenle, her bir olduğunu göstermek için devam e r bir olduğunu s - T kesme. Bunu göstermek için, u 1 = s ve u m = t ile rastgele bir s - t yolu p = ( u 1 , u 2 , … , u m ) alın . yana $U_r$$E_r$$U_r$$E_r$$s$$t$$s$$t$$p=(u_1, u_2, \ldots,u_m)$$u_1=s$$u_m=t$( U ı + 1 ) ≤ d ( u ı ) + 1 , mesafelerin dizisi d ( u 1 ) , ... , d ( u m ) değeri ulaşmalıdır d ( u m ) = D ( t ) ile başlayarak , d ( u 1 ) = d ( s ) = 0 ve değeri en fazla 1 arttırmak$d(u_{i+1})\leq d(u_i)+1$$d(u_1),\ldots,d(u_m)$$d(u_m)=d(t)$$d(u_1)=d(s)=0$$1$her adımda. Bazı d ( u i ) değerleri azalırsa, d ( u i ) değerine ikinci değere ulaşmamız gerekir . Bu yüzden, bir olmalıdır j bir atlama d ( u j ) = R için d ( u j + 1 ) = r + 1 olur, kenar anlamına ( u j , u j + 1 ) ait e r olarak İstenen. QED $d(u_i)$$d(u_i)$$j$$d(u_j)=r$$d(u_{j+1})=r+1$$(u_j,u_{j+1})$$E_r$

Peki ya daha kısa ( k'dan ) yollar varsa? Herhangi bir ipucu / referans? $k$

---

T JT Robacker, Bir Ağın En Kısa Zincirleri ve Ayrık Kesimleri Hakkında Min-Max Teoremleri, Araştırma Memorandumu RM-1660, RAND Corporation, Santa Monica, California, [12 Ocak] 1956. $^{\ast}$

---

DÜZENLEME (bir gün sonra): Via, kısa ve çok güzel argüman David Eppstein yukarıdaki orijinal soruya cevap negatif : komple DAG T n (a geçişli turnuvası ) dörtten fazla ayrık olamaz k -cuts! Aslında, şu ilginç kanıtlıyor yapısal için, gerçeği k hakkında $T_n$$k$$k$n . Bir kesimsafbu için kenarların olayı içeriyorsasveyat.$\sqrt{n}$$s$$t$

Her saf k olarak kes T N uzunlukta bir yolunu içerir k . $k$$T_n$$k$

Bu, özellikle, her iki saf k kesiminin kesişmesi gerektiği anlamına gelir ! Ama belki de hala "çok fazla" örtüşmeyen birçok saf k- kesimi vardır. Bu nedenle, rahat bir soru (STCONN için sonuçlar aynı olacaktır ):$k$$k$

Soru 2: Her saf k kesiminin ≥ M kenarları varsa, grafiğin yaklaşık Ω ( k ⋅ M ) kenarları olmalı mı? $k$$\geq M$$\Omega(k\cdot M)$

STCONN karmaşıklığı ile bağlantı gelen sonucu bir kaldırma olduğu Erdös ve Gallai hariç tüm ( k - 1 ) m / 2 (yönlendirilmeyen) olan kenarlar, K m uzunluğu tüm yolları yok etmek amacıyla k . $(k-1)m/2$$K_m$$k$

---

DÜZENLEME 2: Şimdi Mathoverflow'da 2. soruya sordum .

Kısa cevap: hayır.

Let G üzerinde tam bir DAG (geçişli turnuvası) olduğu , n ile köşe s ve t kaynağını ve bir lavabo ve izin k = $G$$n$$s$$t$n / 3 . Daha fazla thamn/3kenarısveya en fazlan/3kenarıt olanolaydaen fazla dört ayrık kesim olabileceğini gözlemleyin. Birçok ayrık kesimler olmak varsa yani, biz bir kesim var olduğu varsayabilirizCiçin kenarları olayla çok sayıda içermezsvet.$k=\sqrt{n/3}$$n/3$$s$$n/3$$t$$C$$s$$t$

Şimdi izin X indüklenen tam alt grafiğinin olabilir G köşe grubu ile x kenarlar öyle ki s x ve x t değil aittir yapmak C . X'deki köşe sayısı en az n / 3'tür , çünkü aksi takdirde C , s veya t ile ilgili çok fazla kenara değecektir . Bununla birlikte, X ∖ C bir k- yolu içeremez , çünkü böyle bir yol mevcutsa , G'de uzun bir yol oluşturmak için s ve t ile birleştirilebilir.$X$$G$$x$$sx$$xt$$C$$X$$n/3$$C$$s$$t$$X\setminus C$$k$$s$$t$∖ Cı . Bu nedenle, katman en uzun yol X ∖ C daha az olan K tabakaları ve birden fazla ihtiva eden bir tabaka bulunur ( n / 3 ) / k = k köşe. Bu, en uzun yol katmanının bir tabakası olduğundan, X ° C'de bağımsızdırve bu nedenle C'de tamamlanır, bu nedenle C ,bu katmanın köşeleri boyunca, k uzunluğundabir P yolu içerir. Bu yol diğer tüm kesiklerden ayrılmalıdır.$G\setminus C$$X\setminus C$$k$$(n/3)/k=k$$X\setminus C$$C$$C$$P$$k$

Değil her bir parça C den kenarı içermelidir s yolu başlangıcına P ya da yol sonu kenarın P için t , ya da başka yolun bloke olmaz s - p - t . Eğer C varsa, en fazla üç ayrık kesim olabilir. Ve C yoksa (yani, tüm kesimler s veya t'ye karşılık gelen n / 3 kenardan fazlasını kaplarsa ) en fazla dört ayrık kesim olabilir. Her iki durumda da, bu k kesimlerden çok daha az .$C$$s$$P$$P$$t$$s$$P$$t$$C$$C$$n/3$$s$$t$$k$