Köşe Ayırıcılarının Sertliği

11

Belirli bir grafik , Ayırıcı Sorunu, kaldırma bölümleri yaklaşık olarak eşit boyutlarda iki ayrık grafik halinde olan küçük bir kardinalite (veya ağırlık) tepe veya kenar kümesinin var olup olmadığını sorar . Bu, kaldırılan küme bir tepe kümesi olduğunda Köşe Ayırıcı Sorunu ve kenar kümesi olduğunda Kenar Ayırıcı Sorunu olarak adlandırılır. Her iki problem de genel ağırlıksız grafikler için NP-tamamlanmıştır. Tepe ayırıcıya yaklaşmanın en iyi bilinen sertliği nedir? PTAS reddedildi mi? Yönlendirilmiş ayarda en iyi bilinen sertlik sonuçları nelerdir? $G$ $G$

Düzeltme : Aşağıdaki bağlantılar ve cevaplar bana yardımcı olmadı çünkü sorumu doğru şekilde belirtmedim. Sorum şu Leighton-Rao teoremiyle ilgili:

Teoremi : bir grafiktir verilen bir polinom zaman algoritması duyulmaktadır ve bir dizi , bir bulur tepe ayırıcı bölgesinin de boyutu , , bir minimum boyutu ve -vertex ayırıcı bölgesindeki . $G(V,E)$ $W \subseteq V$ $\frac{2}{3}$ $S \subseteq V$ $W$ $G$ $O(w.{\log}n)$ $w$ $\frac{1}{2}$ $W$ $G$

Bir grafik ve bir set verildiğinde, bir -vertex ayırıcı (burada sabittir) bulmak istiyorum burada, bir minimum boyutu ve -vertex ayırıcı bölgesindeki . Bu sorunun en iyi bilinen sertliği nedir? Yukarıdaki teorem bu sorun için yaklaşımı vermektedir. $G(V,E)$ $W \subseteq V$ $\delta$ $\frac{1}{2} \leq \delta \leq 1$ $w$ $w$ $\frac{1}{2}$ $W$ $G$ $O({\log}n)$

Ayırıcıyı çıkardıktan sonra ortaya çıkan bileşenlerin boyutunda sabit faktör patlamasına izin verdiğimi unutmayın, ancak ayırıcının kendisinin boyutunu en aza indirmek istiyorum. Yorumlarda bahsedilen bağlantılar , sonuçta ortaya çıkan bileşenlerin boyutunun en fazla olduğu konusunda ısrar ettiğimiz minimum b-tepe ayırıcıya işaret eder . $|V|/2$

cc.complexity-theory approximation-hardness

— Shiva Kintali
kaynak

1

Önceki yorumlarımın gereksiz yere sert olduğunu fark ettim. Onları kaldırdım. Yalnızca bu yorumlarda bağlantılar bırakıyorum: tepe noktası sürümü ve NP Optimizasyon Sorunları Özeti'ndeki edge sürümü .

— Tsuyoshi Ito

Ben de bu soruyla ilgileniyorum, o zamandan beri bir şey buldun mu?

— Yaroslav Bulatov

@Yaroslav: Hayır. Bu özel sorun için maalesef sertlik sonucu bulamadım.

— Shiva Kintali

9

Kenar ayarında, bahsettiğiniz sorun ikiye ayırma sorunudur ve böyle bir minimum kenarın boyutuna ikiye ayırma genişliği denir. Bu sorun hakkında bir ton araştırma var ve sorun için en iyi bilinen yaklaşım Racke tarafından . $O(\log n)$

Krauthgamer, Naor ve Schwartz tarafından ikiye bölme genişliğinin genelleştirilmesiyle ilgili bu makalede (en kesik kesime, yayılan metriklere ve hatta benzersiz oyun varsayımlarına bağlanan) bilinen çalışmanın iyi bir incelemesi .

— Suresh Venkat
kaynak

5

Ayırıcı sorununun istediğiniz anlamda yakınlığı, en düzgün kesik sorununun yakınlığı ile yakından ilgilidir. Bir yaklaşımı iyileştirilmesi Arora-Rao-Vazirani ile elde edilmiştir a-faktör $O(\sqrt{\log n})$ $O(\log n)$ Leighton ve Rao'dan; bunu kenar durumu için yaptılar. Agrawal-Charikar-Makarychev-Makarychev sonucu, yönlendirilmiş en az kesime benzer bir sınır elde etmek için kullandı (eğer bir kişi iki bölümlü kesimlerle ilgileniyorsa). Aynı zamanda Feige-Hajiaghayi-Lee, köşe ayırıcılar için ARV yoluyla tekrar benzer bir bağ elde etti (ve ayrıca trewidth'in aynı faktör içinde tahmin edilebileceğine dikkat çekti). Chuzhoy-Khanna'nın homojen olmayan durumda sertlik sonuçları gösterdiği yönlendirilmiş grafiklerde en kesik kesimin başka bir fikri olduğuna dikkat edilmelidir, ancak tek biçimli durumdan emin değilim. Bence süper sabit sertlik sonuçları UGC altında (üniform) en az kesim için biliniyor ama emin değilim.

— Chandra Chekuri
kaynak