Sayı alanlarındaki faktoringin karmaşıklığı

Genel sayı alanlarındaki faktoring tam sayılarının hesaplamalı karmaşıklığı hakkında ne bilinmektedir? Daha spesifik olarak:

1. Tamsayılar üzerinde tamsayıları ikili açılımları ile temsil ediyoruz. Tam sayıların genel sayı alanlarındaki analog gösterimi nedir?
2. Sayı alanlarındaki önceliğin P veya BPP'de olduğu biliniyor mu?
3. Sayı alanlarını çarpanlara ayırmak için en iyi bilinen algoritmalar hangileridir? ( ve (görünüşte) algoritmaları den genişletiliyor mu?) Burada, faktoring, bir sayının ( bit ile temsil edilen ) bir temsilini bulmak anlamına gelir. primerlerin bir ürünü. expn 1 / 3 , Z$\exp \sqrt n$$\exp n^{1/3}$$\mathbb{Z}$$n$
4. Bir sayıdaki bir tamsayıdaki tüm faktörleşmeleri bulmanın karmaşıklığı nedir? Kaç tane farklı faktoringe sahip olduğunu saymak mı?
5. Üzerinde verilen bir sayı aralığı içinde bir faktör var olmadığına karar vermek için olduğu bilinmektedir NP zordur. Sayı alanlarındaki tamsayı halkası üzerinde, normları belli bir aralıkta zaten bir asıl zor olan bir asal faktör olup olmadığını bulmak mümkün olabilir mi? [ a , b $\mathbb{Z}$$[a,b]$
6. BQP'de sayı alanlarındaki faktoring var mı?

Açıklamalar, motivasyonlar ve güncellemeler.

Tabii ki, faktoringin sayı alanlarında benzersiz olmadığı gerçeği burada çok önemlidir. Bu soru (özellikle bölüm 5), GLL hakkındaki bu blog yazısı ( bu açıklamaya bakınız ) ve ayrıca daha önceki bu TCSexchange sorusuyla motive edildi . Ayrıca , blogumda da Lior Silverman'ın kapsamlı bir cevap sunduğu bir sunum yaptım .

Aşağıdaki cevap, aslen Gil'in bloguna yorum olarak gönderildi.

(1) bir sayı alanı olsun, burada da monik bir minimal polinom . Daha sonra bir tamsayılı tamsayısının halkasının elemanlarını polinomları olarak veya integral bir baz olarak temsil edebilir - ikisi eşdeğerdir.α f ∈ Z [ x ] O K$K=\mathbb{Q}(\alpha)$$\alpha$$f\in\mathbb{Z}[x]$$\mathcal{O}_K$$\alpha$

Şimdi sabitleme fazla problemden bir polinom zamanlı bir azalma vardır (1) 'deki gibi probleme . Hesaplamaların (ör., ile kesişen bir idealin kesişmesi veya bir polinom modunu faktoringi ) polinom zamanında yapılabileceğini doğrulamak için önceki belirtilen Cohen kitabına bakınız.K Q Z$K$$K$$\mathbb{Q}$$\mathbb{Z}$$p$

Her bir rasyonel asal bir precomputation olarak diskriminant bölünmesi (bunun ayırt edici olan her asal bulabilirsiniz) üzerinde bulunan .α f O K$p$$\alpha$$f$$\mathcal{O}_K$$p$

İdeal verilen primality testi için (2), izin bu olması (bu polinom bir sürede elde edilebilir ve bit sayısı girişi polinom). Polinom süresinde asal olup olmadığını kontrol edin . Değilse, asal değildir. Eğer öyleyse, ya da mod faktoringi ile üstünde yatan . Her durumda asal ise, bu asal sayılardan biri olmalıdır. p ∈ Z a ∩ Z = p Z p p a O K p f p $\mathfrak{a}\triangleleft\mathcal{O}_K$$p\in\mathbb{Z}$$\mathfrak{a}\cap\mathbb{Z} = p\mathbb{Z}$$p$$p$$\mathfrak{a}$$\mathcal{O}_K$$p$$f$$p$$\mathfrak{a}$

(3a), (6a) çarpanlara ayırmak için ideal bir bulun, . Yine bu polinom zamanında bulunabilir ve sonuç olarak çok büyük değildir. Faktör de (ya da klasik veya istediğiniz düşmeye bağlı olarak, Shor'un algoritmasını kullanarak). Bu bölme rasyonel asal bir listesini verir ve dolayısıyla 2'deki gibi biz asal listesini bulabilirsiniz bölünmesi . beri bu, bölen listesini verir. y = N K Q ( a ) = [ O K : a ] y Z y O K y a | Y O K $\mathfrak{a}\triangleleft\mathcal{O}_K$$y = N^K_\mathbb{Q}(\mathfrak{a}) = [\mathcal{O}_K:\mathfrak{a}]$$y$$\mathbb{Z}$$y$$\mathcal{O}_K$$y$$\mathfrak{a} | y\mathcal{O}_K$$\mathfrak{a}$. Son olarak, bir asalin verilen bir ideali böldüğü üssü belirlemek kolaydır.

(3b), (6b) Gil, çarpanlara değil, indirgenemezlere çarpanlaştırmayı istiyor. Bu asal çarpanlara verilen çıkıyor verimli inşa etmek mümkündür , bir ait çarpanlara indirgenemez elemanlarına . Bunun için sınıf numarası olsun ve verilen bir idealin ideal sınıfını verimli bir şekilde hesaplamanın mümkün olduğuna dikkat edin. Şimdi bir indirgenemez bölen bulmak için seçmek ait çarpanlara dan (muhtemelen tekrarı ile) asal idealleri x O K s K x s K x x s $x\mathcal{O}_K$$x$$\mathcal{O}_K$$h_K$$x$$h_K$$x$. Güvercin deliği ilkesine göre, bunlardan bazı alt kümeleri sınıf grubundaki kimliğe çarpar; böyle bir altküme bulmak. Ürünü daha sonra indirgenemez bir eleman tarafından üretilen ana idealdir. Böl bu öğe tarafından, çarpanlara ve tekrar alakalı idealleri kaldırın. Eğer elemanlarından daha o zaman tüm faktörlerin minimal alt kümesini alın.$x$$h_K$

(4) Faktoringleri indirgenemez olarak saymanın mümkün olduğunu düşünüyorum, ancak bu biraz fazladan birleştirmedir - lütfen çalışmam için zaman verin. Diğer taraftan, hepsini belirlemek, alt üstel faktoring algoritmaları bağlamında ilgi çekici değildir, çünkü genel olarak üstel olarak bu tür çarpanlara ayrılmalar söz konusudur.

(5) Hiçbir fikrim yok.

Daniel tarafından belirtildiği gibi , Hesaplamalı Cebirsel Sayılar Teorisinde Bir Ders ( link ) kitabında bazı bilgileri bulabilirsiniz .

Özellikle, sayı alanlarının elemanlarını temsil etmenin birkaç yolu vardır. Let olmak bir sayı alanı bir degree- ait mghorta indirgenemez polinom . herhangi bir kökünü olsun . Adlandırılan standart temsili bir elemanın tuple olan burada , ve , öyle ki$K=Q[\xi]/\langle\varphi\rangle$$\varphi$$n$$\mathbb Z[\xi]$$\theta$$\varphi$$\alpha\in K$$(a_0,\dotsc,a_{n-1},d)$$a_i\in\mathbb Z$$d>0$$\gcd(a_0,\dotsc, a_{n-1},d)=1$