Hiperküp üzerindeki iki nokta kümesi arasındaki en yakın çifti bulma

İki alt kümesi verilen boyutlu hiperküp (yani, ), bir puan alan bir algoritma için ideal am st Hamming mesafesi (ya da hiperküp üzerinde -uzaklık) en az bir. Sadece her bir çifti kontrol eden saf algoritmanın time, bilinen daha iyi bir sonuç var mı? $d$ $M, N \subseteq \{0,1\}^d$ $m\in M, n\in N$ $L_1$ $d_H(m,n)$ $|M|\cdot |N| \cdot d$

Basit olması için olduğunu varsayabiliriz . $|M|=|N|=d$

cg.comp-geom

— HdM
kaynak

hmmm. daha fazla motivasyon / uygulama var mı? Bu öklid / düzlemsel algoritmanın çok boyutlu bir analogu olduğundan şüphelenir, ancak wikipedia hiçbir şey vermez ve başka bir yerde duymamışsa .... n-dim vektörleri için bir algoritma aramaya yardımcı olabilir. makalenin başlangıcı, daha yüksek boyutlar için içinde çözülebileceğini iddia ediyor gibi görünüyor, ancak alıntı yapmadı. belki bir yerde refs?

O (n \log n)

$O(n \log n)$

d > 2

$d>2$

— vzn

Böl ve fethet argümanı, bir paketleme sınırına dayanır. Daha yüksek boyutlarda, bu tanıtır bir

nüks faktör, ancak bağımlılık

aynı kalır. Yani

üslü terimlerin sakıncası yoksa, bu yaklaşımı kullanabilirsiniz. Kesin bir şey istiyorsanız, daha iyisini yapamazsınız.

2^{d}

$2^d$

n

$n$

d

$d$

— Suresh Venkat

ayrıca bkz. en yakın komşu arama

— vzn

Bu pek olası görünmüyor. Hiperküp üzerindeki n + m rastgele dizeleri düşünün. Her nasılsa her bir çiftin vuruş mesafesi kabaca d / 2'dir ve en yakın çifti bulmak için tüm çiftleri kontrol etmeniz gerekir.

— Sariel Har-Peled

@Sariel Har-Peled: Suresh'in yazdığı gibi, problem herhangi bir sabit d için O (n log n) (n = max {| M |, | N |}) zamanında çözülebilir. Bu nedenle, “en yakın çifti bulmak için tüm çiftleri kontrol etmelisiniz” bana doğru gelmiyor.

— Tsuyoshi Ito

Yanıtlar:

Sadece davayı istediğini fark ettim . O zaman matris çarpımı yapabilirsiniz, değil mi? Yaz bir satır matrisidir , bir kolon matrisi olarak , girişlerini boşa ve matris hesaplamak . Açıktır ki, arasındaki Hamming mesafedir inci noktası ve alanına inci $|M|=|N|=d$ $M$ $X$ $N$ $Y$ $Y$ $Z=XY$ $z_{i,j}$ $i$ $M$ $j$ $N$ . Son atılımlara göre bu çalışma süresi (ama gerçekten basit bir algoritma ile zamanında bu matris çarpımının nasıl yapıldığını gösteren 50.000 sayfalık bir el ). $O(d^{2.3727})$ $O(d^{2.3726999999})$

Matrisler kareler değilse benzer bir etki elde edebilirsiniz. Bu durumda Uri Zwick'in hızlı matris çarpımı hakkında bir makalesi olduğunu düşünüyorum.

Bir anlamda, bu çok ilginç değil - teriminden kaçınmak istiyoruz . terimdeki gelişmeler tür meh, meh vardır ... $O(|M| * |N|)$ $d$

— Sariel Har-Peled
kaynak

Büyük bulmak. Başka bir notta, bir meslektaşım bu makaleyi buldu: toc.cse.iitk.ac.in/articles/v008a014/v008a014.pdf ve sadece şimdi bunun sizin tarafınızdan yazıldığını anlıyorum. Sayfa 17+ özellikle ilginç ..

— HdM

Evet. Tanıdık geliyor - ama bunun yaklaşık olduğunu fark et - Suresh kesin sonucu istedi ...

— Sariel Har-Peled

-3

yorumlarda olduğu gibi, bu problem genellikle bir Hilbert uzayındaki aynı problemle yakından ilişkilidir ve algoritmalar neredeyse uygulanabilirdir. bunun bir örneği bu çalışmada Arya ve arkadaşları [1] p29 tarafından bulunabilir; burada yazarlar, Boole küpü ve normu kullanılarak Hilbert uzayını en yakın komşu algoritmasını karşılaştırırlar . algoritmaları herhangi bir Minkowski metriğinde çalışır. işaret ettiğiniz gibi (ancak wikipedia başka referanslar gibi görünmüyor ya da pek çok referans yapmıyor) Hamming mesafesi metriği, ikili koordinatlarda Minkowski uzay metriğine veya "taksik metriğe" eşdeğerdir . algoritmaları $L_\infty$ $L_m$ $L_1$ $O(dn \log n)$ ön işleme süresi ( boyutları) ve logaritmik "sorgu" süresi (nokta başına). ayrıca bakınız [2] $d$

[1] Sabit Boyutlarda Yaklaşık En Yakın Komşu Arama İçin Optimal Bir Algoritma Arya et al, 30pp

[2] Moleküler kümeleme Cazals uygulamalarıyla hiper küp üzerinde arama yapan en yakın komşular

— vzn
kaynak

Ω (d^{d})

$\Omega(d^d)$