NC = P sonuçları?

35

Karmaşıklık Zoo ile girişinde işaret EXP eğer L = P sonra Pspace = EXP. NPSPACE = PSPACE'ten beri Savitch, altta yatan doldurma argümanını söyleyebildiğim kadarıyla şunu gösteriyor: Ayrıca bu L bilmek NL Carolina p RUZZO kaynak-sınırlanan alternatif hiyerarşisi ile.

(NL = P) \Rightarrow (Pspace = EXP) .

$(\text{NL} = \text{P}) \Rightarrow (\text{PSPACE} = \text{EXP}).$

\subseteq

$\subseteq$

\subseteq

$\subseteq$

\subseteq

$\subseteq$

NC = P ise, PSPACE = EXP'yi takip ediyor mu?

Sorunun Richard Lipton'un ruhuna göre farklı bir yorumu: P'deki bazı problemlerin paralelleştirilememesi, üstel zaman prosedürlerinin polinom alanından daha fazlasını gerektirmemesinden daha mı muhtemeldir?

NC = P'nin diğer “şaşırtıcı” sonuçlarına da ilgi duyarım (ne kadar iyi olursa o kadar iyi).

Düzenleme: Ryan'ın cevabı başka bir soruya yol açar: PSPACE = EXP'yi garanti ettiği bilinen en zayıf hipotez nedir?

W. Savitch. Belirleyici olmayan ve deterministik bant karmaşıklıkları arasındaki ilişkiler, Bilgisayar ve Sistem Bilimleri Dergisi 4 (2): 177-192, 1970.
WL Ruzzo. Düzgün devre karmaşıklığı üzerine, Bilgisayar ve Sistem Bilimleri Dergisi 22 (3): 365-383, 1971.

Düzenleme (2014): eski Zoo bağlantısı güncellendi ve diğer tüm sınıflar için bağlantılar eklendi.

cc.complexity-theory conditional-results

— András Salamon
kaynak

1

NC'nin ne olduğunu bilmeyen tek kişi olmadığımdan emin olduğum için, işte bir link: en.wikipedia.org/wiki/NC_%28complexity%29

— Emil

@Andras: belki zaten biliyorum, ama henüz söz edilmemiştir bir diğer sonucu, o zaman ki hiyerarşi beri çökecektir altında komple sorunları var -reductions .

N C

$\mathsf{NC}$

P

$\mathsf{P}$

L

$\mathsf{L}$

— Joshua Grochow

28

Evet. , alanı ve zamanını kullanan alternatif Turing makineleri tarafından tanınan dillerin sınıfı olarak görülebilir . (Bu ilk olarak Ruzzo tarafından kanıtlandı.) , alternatif Turing makinelerinin alanını kullandığı ancak zamanını alabildiği sınıftır . Kısalık izin için en Bu sınıflar çağrı ve . $NC$ $O(\log n)$ $(\log n)^{O(1)}$ $P$ $O(\log n)$ $n^{O(1)}$ $ATISP[(\log n)^{O(1)},\log n] = NC$ $ASPACE[O(\log n)] = P$

İki sınıfın eşit olduğunu varsayalım. Değiştirme ile yukarıda (örneğin, standart için lemmas uygulanması), bir elde $n$ $2^n$

. $TIME[2^{O(n)}] = ASPACE[O(n)] = ATISP[n^{O(1)}, n] \subseteq ATIME[n^{O(1)}] = PSPACE$

Eğer daha sonra , hem de beri var içinde -Komple dil . $TIME[2^{O(n)}] \subseteq PSPACE$ $EXP = PSPACE$ $EXP$ $TIME[2^{O(n)}]$

Düzenleme: Yukarıdaki cevap belki daha eğitici olsa da, işte daha basit bir argüman: zaten " pollog uzayında bulunur" ve standart çeviriden sonra geliyor. $EXP = PSPACE$ $P$ Not: " , pollog boşluğunda bulunur", çok daha zayıf bir hipotezdir . $P$ $NC = P$

Daha fazla detay: devre ailelerinin bazı sabitler için derinliği , bu tür her devre ailesi uzayda değerlendirilebilir. Bu nedenle . Yani anlamına gelir. $NC$ $(\log n)^c$ $O((\log n)^c)$ $NC \subseteq \bigcup_{c > 0} SPACE[(\log n)^c]$ $P = NC$ . Çeviri (yerine uygulanması ile ) ve açık . Bir tamamlayıcı dilin dekivarlığıargümanı tamamlar. $P \subseteq \bigcup_{c > 0} SPACE[(\log n)^c]$ $n$ $2^n$ $TIME[2^{O(n)}] \subseteq PSPACE$ $EXP$ $TIME[2^{O(n)}]$

Güncelleme: : Andreas'ın ek soru hitaben ben gibi bir şey kanıtlamak mümkün olması gerektiğine inanıyoruz herkes için IFF içinde her polynomially seyrek dile zaman çözülebilir olduğunu polylog alanı. (En fazla olduğu polynomially seyrek aracı olmak uzunlukta bir dize tüm dildeki $EXP=PSPACE$ $c$ $n^{O(\log^c n)}$ $poly(n)$ $n$ $n$ .) True ise, ispat olasılıkla Hartmanis, Immerman çizgisinde gitmek ve bu Sewelson en kanıtı olacaktır her polynomially seyrek dile IFF bulunan . (Not, pollog uzayındaki zaman hala demek için yeterlidir .) $NE = E$ $NP$ $P$ $n^{O(\log^c n)}$ $PSPACE=EXP$

— Ryan Williams
kaynak

1

Güzel cevap için teşekkürler. Dexter Kozen en Hesaplama Kuramı sayfa 69 RUZZO en sınıflar için güzel bir "tek tip" notasyonu vardır:

nerede

sınırları uzay,

sınırları saati ve

sınırları ardaşımı. Sonra

iken

S T A (f, g, h)

$STA(f,g,h)$

f

$f$

g

$g$

h

$h$

NC = S T A (\log n, *, (\log n)^{O (1)})

$\text{NC} = STA(\log n, {*}, (\log n)^{O(1)})$

inşaatı gerçekten vurgulamaktadır.

P = S T A (\log n, *, *)

$\text{P} = STA(\log n, {*}, {*})$

— András Salamon

1

dediğimi not edin . Ancak bunların aynı olduğunu düşünüyorum. Polinom süresi ve

alan ancak sadece

değişiklik yapan bir makine, yalnızca

alan başka bir alternatif makineye dönüştürülebilir.

N C = S T A (\log n, (\log n)^{O (1)}, *)

$NC = STA(\log n, (\log n)^{O(1)}, *)$

O (\log n)

$O(\log n)$

(\log n)^{O (1)}

$(\log n)^{O(1)}$

zaman ve

boşluk. (Diğer yön açıktır.) Fikir, daha fazla alternatif eklemek, böylece her polinom zaman varoluş aşaması ve evrensel faz, sadece

zaman ve

boşluktaçalıştırmak için "hızlanır".Savitch teoreminin çizgileri boyunca.

(\log n)^{O (1)}

$(\log n)^{O(1)}$

O (\log n)

$O(\log n)$

(\log n)^{O (1)}

$(\log n)^{O(1)}$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Ryan Williams

6

İhtiyacımız olan şey, "\ NP" gibi bir şeyi hayvanat bahçesindeki girişe otomatik olarak bağlayan bir tür yağlı yazı senaryosu.

— Suresh Venkat

12

(Ryan'ın cevabını gördüm, fakat sadece bir yorum için çok uzun olan başka bir bakış açısı sağlamak istedim.)

Olarak Eğer L hakkında bilgi için gereken tüm kanıtı, gayri, bir üstel tarafından şişirilmiş zaman, L Pspace hale gelmesidir. Aynı kanıt NL için de geçerli çünkü NL'nin bir üstel tarafından patlaması da PSPACE'e dönüşüyor. $L = P \Rightarrow PSPACE = EXP$

Benzer şekilde, NC bir üstel tarafından patlatıldığında, PSPACE'i alırsınız. Bunu devreler açısından görmeyi seviyorum: NC, pollog derinliğine sahip polinom büyüklüğünde devrelerin sınıfıdır. Havaya uçtuğunda, bu polinom derinliğine sahip üstel boyut devreleri haline gelir. Biri, uygun düzgünlük koşulları eklendiğinde, bunun tam olarak PSPACE olduğunu gösterebilir. NC'nin L düzgünlüğü ile tanımlanması durumunda, o zaman bu PSPACE düzgünlüğünü elde eder.

Kanıt kolay olmalı. Bir yönde, TQBF gibi bir PSPACE tamamlayıcı problemi alın ve üstel boyuttaki AND ve OR kapılarını kullanarak niceleyicileri ifade edin. Diğer yönde, polinom derinlik devresini tekrarlı bir şekilde çaprazlamayı deneyin. Yığın boyutu polinom olacak, bu PSPACE'de yapılabilir.

Sonunda, soruyu gördüğümde (ve Ryan'ın cevabını okumadan önce) bu argümanla karşılaştım, bu yüzden hatalar olabilir. Lütfen onlara dikkat edin.

— Robin Kothari
kaynak

1

Bir düzeltme: NC, polinom büyüklüğüne ve pollog derinliğine sahip devrelere sahiptir, ancak bu hala çeviri sonrası sadece polinom derinliğidir.

— Ryan Williams

@Ryan: Haklısın. Bunu düzelteceğim.

— Robin Kothari

1

İşte zaman sınırlı sınırlı Alternatif Turing makinesini simüle etme perspektifinden biraz daha ayrıntılı.

Varsayalım ki . $P = NC$

Bu yana , bundan elde $NC = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n)))$

P = bir T ben S P ((günlük (n))^{Ö (1)}, Ö (günlük (n))) .

$P = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n))).$

Şimdi, doğrusal zaman evrensel simülasyon sorunu dikkate biz Turing makinesi üzerinde bir kodlama verilmiştir ve bir giriş dizesi uzunluğu ve biz bilmek istiyorum kabul en fazla içinde adımlar. $LinU$ $M$ $x$ $n$ $M$ $x$ $n$

Bunu biliyoruz . Bu nedenle, bir (yeterince büyük), $LinU \in P$ $c$

(*) L ben n U \in bir T ben S P ({günlük}^{c} (n), c günlük (n)) .

$(*) \; LinU \in ATISP(\log^c(n), c\log(n)).$

Bir doldurma argümanı sonucunda (biraz zor yorumlara bakın), biz

(1) D T ben M E (n) \subseteq bir T ben S P ({günlük}^{c} (n), c günlük (n)) .

$(1) \; DTIME(n) \subseteq ATISP(\log^c(n), c\log(n)).$

Dolgu argümanı genişleterek, biz

(2) D T ben M E (n^{k}) \subseteq bir T ben S P (k^{c} {günlük}^{c} (n), k c günlük (n)) .

$(2) \; DTIME(n^k) \subseteq ATISP(k^c\log^c(n), kc\log(n)).$

(3) D T ben M E (2^{n^{k}}) \subseteq bir T ben S P (k^{c} n^{k c}, k c n^{k}) .

$(3) \; DTIME(2^{n^k}) \subseteq ATISP(k^cn^{kc}, kcn^{k}).$

Ayrıca, Alternatif zaman boşluğu sınırlı Turing makinelerinin simülasyonu hakkında bilinen sonuçlar vardır. Özellikle, olduğunu biliyoruz

bir T ben S P ({günlük}^{c} (n), c günlük (n)) \subseteq D S P bir C E (Ö ({günlük}^{c + 1} (n))) .

$ATISP(\log^c(n), c\log(n)) \subseteq DSPACE(O(\log^{c+1}(n))).$

Bu nedenle, (esas olarak) tüm doğal sayılar için aşağıdakilere sahibiz : $k$

(2^{*}) D T ben M E (n^{k}) \subseteq D S P bir C E (k^{c + 1} {günlük}^{c + 1} (n))

$(2^{*}) \; DTIME(n^k) \subseteq DSPACE(k^{c+1}\log^{c+1}(n))$

(3^{*}) D T ben M E (2^{n^{k}}) \subseteq D S P bir C E (n^{k (c + 1)}) .

$(3^{*}) \; DTIME(2^{n^k}) \subseteq DSPACE(n^{k(c+1)}).$

Kaynaktan , biz alacağı . $(3^{*})$ $EXP = PSPACE$

=================================================================

O önceden önemlidir ima bazı sabitler için . $P = NC$

bir T ben S P ((günlük (n))^{Ö (1)}, Ö (günlük (n))) = bir T ben S P ({günlük}^{c} (n), Ö (günlük (n)))

$ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n))) = ATISP(\log^c(n), O(\log(n)))$

c

$c$

Herhangi bir yorum veya düzeltme bekliyoruz. :)

— Michael Wehar
kaynak

1

N C^{k} ⊊ P S P A C E

$NC^k\subsetneq PSPACE$

k

$k$

N C^{2} ⊊ P S P A C E

$NC^2\subsetneq PSPACE$

N C \neq P S P A C E

$NC\neq PSPACE$

1

N C \neq P S P A C E

$NC\neq PSPACE$

P - u n i f o r m N C^{1} = P S P A C E

$P-uniform NC^1=PSPACE$

1

N C = A T I S P ((\log (n))^{O (1)}, O (\log (n)))

$NC = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n)))$

1

@Turbo Takip ettiğiniz için teşekkür ederiz !! Bence bu sayfanın altındaki 370 sayfasındaki tanımı okumanız gerektiğini düşünüyorum: sciencedirect.com/science/article/pii/0022000081900386

— Michael Wehar

1

N C

$NC$

P

$P$

N C

$NC$