Asimptotik olarak,

Bir permütasyon düşünün $\sigma$ arasında $[1..n]$ . Ters çevirme, ve şekilde bir çift indeks olarak tanımlanır . $(i, j)$ $i < j$ $\sigma(i) > \sigma(j)$

Tanımla $A_k$ permütasyon sayısı olduğu $[1..n]$ en ile $k$ inversiyonu.

Soru: için sıkı asimptotik sınır $A_k$ nedir?

İlgili bir soru daha önce sorulmuştur: Aynı Kendall-Tau mesafesine sahip permütasyon sayısı

Ancak yukarıdaki soru hesaplamasıyla . Dinamik programlama kullanılarak hesaplanabilir, çünkü burada gösterilen yineleme ilişkisini karşılar: /programming/948341/dynamic-programming-number-of-ways-to-get-at-least-n-bubble -swap-Sıralama $A_k$

Tam olarak $k$ inversiyonlu permütasyonların sayısı da incelenmiştir ve bir üretme fonksiyonu olarak ifade edilebilir: http://en.wikipedia.org/wiki/Permutation#Inversions

Ancak kapalı formülü veya asimtotik bir bağ bulamıyorum.

co.combinatorics permutations

— Vinayak Pathak
kaynak

If you have a generating polynomial for a sequence, you can derive the generating polynomial for the prefix sums merely by multiplying the polynomial by

1/(1−x) $1/(1-x)$ . In your case, you'd use the polynomial you linked to that computes the exactly-k inversions.

— Suresh Venkat

Bu oeis.org/A161169

— András Salamon

@SureshVenkat Tavsiye için teşekkürler. Ama yine de bu gerçekten karmaşık polinomda

açısından

katsayısını bulmakta sıkışıp kalacağım ve bunu nasıl yapacağımı göremiyorum. xk $x^k$

n $n$

k $k$

— Vinayak Pathak

katsayısını elde etmek için

almak

üreten polinomun türevi inci ve en değerlendirmek

. xk $x^k$

k $k$

x=0 $x = 0$

— Sasho Nikolov

According to Wikipedia, the number of permutations in $S_n$ with exactly $k$ inversions is the coefficient of $X^k$ in

1 (1 + X) (1 + X + X 2) \dots (1 + X + \dots + X n - 1) .

$1(1+X)(1+X+X^2)\cdots(1+X+\cdots+X^{n-1}).$ Denote this by

c(n,k) $c(n,k)$ . This shows that

c (n + 1, k) = \sum l = 0 k c (n, k - l) .

$c(n+1,k) = \sum_{l=0}^k c(n,k-l).$ So the number of permutations in

Sn $S_n$ with at most

k $k$ inversions is equal to the number of permutations in

Sn+1 $S_{n+1}$ with exactly

k $k$ inversions. This has a neat combinatorial proof as well (hint: take

π∈Sn+1 $\pi\in S_{n+1}$ and remove

n+1 $n+1$ ).

If we are interested only in the coefficient of $X^k$ , then factors $X^m$ for $m > k$ don't make any difference. So for $n > k$ , $c(n,k)$ is the coefficient of $X^k$ in

= = 1 (1 + X) \dots (1 + X + \dots + X k - 1) (1 + X + \dots + X k + \dots) n - k 1 (1 + X) \dots (1 + X + \dots + X k - 1) 1 ( 1 - X ) n - k 1 (1 + X) \dots (1 + X + \dots + X k - 1) \sum t = 0 \infty (t + n - k - 1 t) X t .

$\begin{align*} &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) (1+X+\cdots+X^k+\cdots)^{n-k} \\ = &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) \frac{1}{(1-X)^{n-k}} \\ = &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) \sum_{t=0}^\infty \binom{t+n-k-1}{t} X^t. \end{align*}$ This implies the formula

c (n, k) = \sum t = 0 k (n + t - k - 1 t) c (k, k - t), n > k .

$c(n,k) = \sum_{t=0}^k \binom{n+t-k-1}{t} c(k,k-t), \quad n > k.$

When $k$ is constant, the asymptotically most important term is the one corresponding to $t = k$ , and we have

c (n, k) = (n - 1 k) + O k (n k - 1) = 1 k ! n k + O k (n k - 1) .

$c(n,k) = \binom{n-1}{k} + O_k(n^{k-1}) = \frac{1}{k!} n^k + O_k(n^{k-1}).$ The same asymptotics work for

c(n+1,k) $c(n+1,k)$ , which is what you were after.

For non-constant $k$ , using the fact that $\binom{n+t-k-1}{t} = \binom{n+t-k-1}{n-k-1}$ is increasing in $t$ and $\sum_{t=0}^k c(k,t) \leq k!$ , we get the bounds

(n - 1 k) \leq c (n, k) \leq k! (n - 1 k) .

$\binom{n-1}{k} \leq c(n,k) \leq k! \binom{n-1}{k}.$ Better bounds are surely possible, but I'll leave that to you.

— Yuval Filmus
kaynak

Using Stirling's Approximation and the binomial bounds we can simplify the last expression to

c(n,k)≤k!(n−1k)≤ekk+1/2e−k(e(n−1)/k)k $c(n,k)\leq k!\binom{n-1}{k} \leq ek^{k+1/2}e^{-k}(e(n-1)/k)^k$ so

c(n,k)≤ek−−√(n−1)k $c(n,k) \leq e\sqrt{k}(n-1)^k$ . This is not tight of course but it's a more elegant bound than I would expect from those approximations.

— SamM