Önerme çözümü tam bir kanıt sistemi midir?

Bu soru önermenin mantığı ile ilgilidir ve bütün "çözüm" oluşumları "öneri çözüm" olarak okunmalıdır.

Bu soru son derece basit bir şey ama bir süredir beni rahatsız ediyor. İnsanların önerme çözümünün tamamlandığını iddia ettiklerini görüyorum, ancak insanların çözümün eksik olduğunu iddia ettiklerini de görüyorum. Çözümün eksik olduğu duyguyu anlıyorum. İnsanların neden bunun tamamlandığını iddia edebileceğini de görüyorum, ancak "tamamlandı" sözcüğü, doğal kesinti veya ardışık hesaplamayı tanımlarken kullanılan "tamamlandı" biçiminden farklıdır. Formüllerin CNF'de olması ve formülün eşdeğer bir CNF formülüne veya Tseitin dönüşümü yoluyla dengelenebilir CNF formülüne dönüştürülmesi nedeniyle niteleyici "çürütme tamamlandı" bile yardımcı olmaz.

Sağlamlık ve Bütünlük

Bize ilişkisi ile klasik önermeler mantığının ayarını varsayalım yapıların bazı evren ve bir dizi formül ve bir yapıda gerçeğin klasik Tarskian kavramı arasındaki. Biz yazmak eğer tüm yapıların düşünülen içinde geçerlidir. Ayrıca formüllerden formül elde için bir sistem . $\models$ $\models \varphi$ $\varphi$ $\vdash$

Sistem olan ses bakımından eğer elimizdeki her , biz de var . Sistem olan komple göre Elimizdeki her eğer , biz de var $\vdash$ $\models$ $\vdash \varphi$ $\models \varphi$ $\vdash$ $\models$ $\models \varphi$ . $\vdash \varphi$

Çözünürlük Kuralı

Değişmez bir atom önerisi ya da olumsuzlamasıdır. Bir madde, değişmez değerlerin bir ayrılmasıdır. CNF'deki bir formül, cümlelerin bir birleşimidir. Çözümleme kuralı,

Çözümleme kuralı, yan tümcesinin yan birleşiminin tatmin edilebilir olduğunu varsayarsa, yan tümcesi $C \lor p$ $\neg p \lor D$ $C \lor D$ ayrıca karşılanabilir olmalıdır.

Çözüm kuralının tek başına bir kanıt sistemi olarak anlaşılıp anlaşılamayacağından emin değilim çünkü formüllerin girilmesine ilişkin kurallar yoktur. Sanırım en azından cümlelerin uygulanmasına izin veren bir hipotez kuralına ihtiyacımız var.

Çözünürlük eksikliği

Çözünürlüğün ses geçirmez bir sistem olduğu bilinmektedir. Yani, çözünürlüğü kullanarak bir formül bir cümlesi çıkarabilirsek, $C$ $F$ . Çözünürlük de olduğutam reddiyeyebiz varsa anlam $\models F \implies C$ o zaman türetebilirsiniz dan çözünürlük kullanılarak. $\models F \implies \bot$ $\bot$ $F$

Formu düşünün

ve . $\varphi := p \land q$ $\psi := p \lor q$

Doğal kesinti kullanarak Gentzen sistem LK ya, ben yapabilirsiniz türetmek ima tamamen sızdırmaz bir sistem içinde. İmp ile çözünürlüğü kullanarak bu anlamı türetemem. $\varphi \implies \psi$ $\varphi$ , hiçbir çözücülere vardır.

Çözünürlük kullanarak bu çıkarımın geçerliliğini nasıl kanıtlayabileceğimi görüyorum:

Formül düşünün $\neg (\varphi \implies \psi)$
Yukarıdaki formülü standart dağıtım kurallarını veya Tseitin dönüşümünü kullanarak CNF'ye dönüştürün
Derive çözünürlüğü kullanılarak dönüştürülmüş formülden. $\bot$

Bu yaklaşım benim için tatmin edici değil çünkü çözünürlük kanıtı sisteminin dışında olan (1) ve (2) adımlarını gerçekleştirmem gerekiyor. Dolayısıyla, doğal kesinti veya ardışık kalkülüslerin tamamlandığını söylediğimiz şekilde çözünürlüğün tam olmadığı çok açık bir his var gibi görünüyor.

Sorular

Yukarıda verilenlerin hepsi göz önüne alındığında, sorularım:

Çözüm tartışılırken hangi kanıt sistemi düşünülüyor? Sadece çözüm kuralı mı? Diğer kurallar nelerdir?
Doğal kesinti ve ardışık hesapların tamamlanması anlamında çözümün tam olmadığı bana çok açık geliyor. Çözümün tam kötüye kullanım terminolojisi olduğunu iddia eden literatür, çözümün tamamlandığı anlamın eksik olduğu anlamdan daha ilginç olması nedeniyle mi?
Tamlık kavramlarındaki bu farklılık, çözüme ve başka bir yere uygulandığı şekliyle mi ve bunların nasıl uzlaştırılacağı literatürde daha derinlemesine tartışıldı mı?
Ayrıca, çözünürlüğün kesme kuralı açısından sıralı hesaplar içinde formüle edilebileceğini de biliyorum. Çözünürlüğün "doğru" kanıt teorik görüşü, sadece CNF'deki formüllerin tatmin edilebilirliğini kontrol etmek için yeterli olan sıralı analizin bir parçası mıdır?

— Vijay D
kaynak

(1) sadece çözünürlüğe sahip CNF formülleri (veya QBF yaparsanız, çözünürlük ve forall indirgeme özelliğine sahip QCNF formülleri); (2) Evet, bu çürütme tamamlandı ve hala biraz farklı bir anlam, yani

sonra

ψ ⊨ ⊥

$\psi\models\bot$

ψ ⊢ ⊥

$\psi\vdash\bot$

— Radu GRIGDaha

burada kabaca benzer bir soru. gönderme için teşekkürler. temel olarak, iiuc / afaik, çözünürlük 1. derece mantıktan çok daha fazla sistemler için kullanılır, ancak 1. derece mantık içinde "ses / tam" dır, ancak bu her zaman çok iyi tanımlanmamıştır, çünkü genellikle sadece çürütme kanıtları için kullanılır. terimlerin yalnızca boole değişkenleri değil, örneğin varoluşsal niteleyiciler vb. olduğu "daha büyük" sistemlerde, tam değildir. mantık alanı, terminoloji tanımlarını çok iyi standartlaştırmaz, terimlerin "aşırı yüklenmesi" gibi bir çok şey vardır ....

— vzn

Bu yüzden bazı insanlar bunun " çürütme yoluyla tamamlandığını" söylüyorlar , örneğin L. Bachmair ve H. Ganzinger, “Çözüm teoremi kanıtlama,” Otomatik akıl yürütme el kitabı, cilt. 1, s. 19–99, 2001.

— Trylks

Soru çürütme bütünlüğünü tartışıyor.

— Vijay D

Yanıtlar:

Çözüm tartışılırken hangi kanıt sistemi düşünülüyor? Sadece çözüm kuralı mı? Diğer kurallar nelerdir?

Çözümü, yalnızca değişmez değerlerden oluşan diziler olan "maddeler" bağlamında tartışıyorum . Klasik bir cümle gibi görünecektir.

A_{1}, \dots, A_{n} \to B_{1}, \dots, B_{m}

$A_1,\ldots,A_n \to B_1,\ldots,B_m$

sadece bir sequents taraflı ile ve çalışma. Bu tek taraflı dizileri, değişmez değerlerinçoklukümesi olarak işlemek gelenekseldir.

\to {\bar{A}}_{1}, \dots, {\bar{A}}_{n}, B_{1}, \dots, B_{m}

${} \to \bar{A}_1,\ldots,\bar{A}_n, B_1, \ldots, B_m$

Cümlelerle sınırlı LK'nın yalnızca dört çıkarım kuralı vardır:

Kimlik
kesme (önerme kararı)
daralma (önermeli faktoring)
zayıflama

Bu dört kuralın tümceleri çıkarmak için eksiksiz olduğu açıktır;

ÖNERME 1 herhangi bir madde için, ve şartları grubu , elimizdeki ancak ve ancak . $C$ ${\cal S}$ ${\cal S} \models C$ ${\cal S} \vdash C$

Refutation geçirmez dönüştürür problemi için , burada yadsınmasını temsil maddelerin koleksiyonudur . ${\cal S} \vdash C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$ $N(C) = \{\{\bar{A}\} \mid A \in C\}$ $C$

Bu açıktır ki ancak ve ancak . Dört kurallı sistemimiz dönüştürülmüş sorunu kanıtlamak için hala yeterli, ancak kimliğe ihtiyacımız olmadığını ve artık zayıflamadığımızı fark ediyoruz. Geri kalan iki kurala "çözüm kanıtı prosedürü" denir. ${\cal S} \vdash C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

Öneri 2 herhangi bir madde için, ve şartları grubu , elimizdeki ancak ve ancak kullanan tek kesilmiş ve daralma. $C$ ${\cal S}$ ${\cal S} \models C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

Sorunu çürütme kanıtlarına dönüştürme noktası iki yönlüdür:

sürmesine izin vererek kanıt aramasına rehberlik etmek için daha iyi bir fırsatımız var. $N(C)$
Formülleri tatmin edilebilirliğe kadar CNF'ye dönüştürülebilen tam yüklem mantığı üzerinde bir ele sahibiz.

Çözünürlüğün "doğru" kanıt teorik görüşü, sadece CNF'deki formüllerin tatmin edilebilirliğini kontrol etmek için yeterli olan sıralı analizin bir parçası mıdır?

Aslında!

— Uday Reddy
kaynak

Teşekkürler Uday. Bir soru: Kesim kuralı, sonuçta orijinal formülün yan tümcelerini hala tutar. Çözüm olarak, bunlar sonuçta yalnızca bir maddeyle "optimize edilmiştir". Kuralda yer almayan tüm maddeler nedeniyle kararın asgari veya yerel bir kural olduğunu kabul eder misiniz?

— Vijay D

@VijayD. Kesin kuralı kullanıyoruz, ancak Gentzen'den farklı bir şekilde. Nazik kanıtlar şu şekildedir:

, burada "aksiyom"

, çözünürlük olarak

aksiyomları ile kanıtlar üretiyoruz. Bu makaleye,Clausal Completion'abakmak isteyebilirsiniz.

⊢ C

${} \vdash C$

S ⊢ C

${\cal S} \vdash C$

— Uday Reddy

çözümün bütünlüğünün tek cümlelik, doğru bir açıklaması olduğunu düşündüğünüz yanıta cevabınızı da ekleyebilir misiniz?

— Vijay D

@VijayD. Orijinal yanıtımda iki tamlık özelliği olan iki "yalnızca ve yalnızca" ifadesi vardı. Açıklığa kavuşturmak için, onları sizin için önermeler olarak vurguladım. (Kafanızın ima ettiği gibi, şu an hangi dilde çalıştığımızla ilgili değil mi?)

— Uday Reddy

@VijayD. Çözümün "eksik" olduğunu söyleyebileceğinizi sanmıyorum. Orijinal sorunuzda söylediğiniz tek şey, öneri formüllerini yanıltıcı forma sokmak için gereken dönüşümlerin sizin için "tatmin edici" olmadığıydı. Bu onların "eksik" oldukları anlamına gelmez.

— Uday Reddy

1)

Yapısal olmayan tek kural çözümdür (atomlar üzerinde).

\frac{φ \lor C, ψ \lor \bar{C}}{φ \lor ψ}

$\varphi\lor C, \psi\lor \overline{C} \over \varphi\lor \psi$

Ancak kendi başına bir kural bir ispat sistemi vermez. Bkz. Bölüm 3.

2)

$\{\land, \lor, \lnot\}$ $\{\land, \lor, \lnot\}$

Bir dilden diğerine "hoş" bir çeviri olduğu sürece bütünlük hakkında konuşabiliriz. Önemli olan, formülleri birinden diğerine çevirebilmemiz ve bunun tersini etkili bir şekilde yapabilmemizdir. Robert Reckhow'un bağ konusuyla ilgili olduğu tezini kontrol edebilir ve Frege sistemleri için kanıtların uzunluğunun bir polinomdan daha fazla değişmediğini gösterir, bu nedenle istediğiniz herhangi bir uygun bağlaç setini seçmek iyi olur .

Çözüm durumu benzerdir. SAT'dan 3SAT'a indirgeyerek dikkatimizi CNF'lerle sınırlayabiliriz ve dönüşüm çok verimli bir şekilde yapılabilir.

Burada çözümün yalnız olmadığını, sorunun diğer ispat sistemleri için de geçerli olduğunu unutmayın. Örneğin formüllerin derinliğinin bir sabitle sınırlanması gereken Sınırlı Derinlikli Frege'yi alalım, böylece tanım gereği formülün sınırsız derinlikli ailelerini kanıtlayamaz.

3)

$P$ $\vdash_P$

$\vdash_P$ $\varphi$ $\pi$ $\pi$ $P$ $\varphi$
Sağlamlık: varsa $P$ için dayanıklı $\varphi$ , sonra $\varphi$ doğru.
Tamlık: eğer $\varphi$ doğru, o zaman bir $P$ için dayanıklı $\varphi$ .

Tanım çok geneldir ve ispatın yapısı hakkında hiç konuşmaz. Bu koşulları sağlayan her şey, bir öneri kanıtı sistemidir.

Bu öğelerde hangi formül sınıfını düşünmeliyiz? Farklı formül sınıfları göz önünde bulunduruldu ve bildiğim konunun ilk tedavisi Robert Reckhow'un Frege sistemleriyle ilgili olduğu sürece, bunların hangisinin yeterli bağlantı setini kullandığını göstermediği tezidir . eşdeğerdir.

Çözüm ile ilgili olarak, eğer kişi sadece CNF'lerle değil tüm formüllerle ilgili bütünlüklere sahip olmak istiyorsa, rastgele formüllerden CNF'lere sabit bir polinom-zaman çevirisini, çeviri polinom-zaman hesaplanabilir olduğundan problemsiz bir şekilde kanıtlama sistemine dahil edebilir.

Her durumda, çözünürlük kanıtı sistemi aşağıdaki gibi çalışır: $\pi$ bir türevidir $\bot$ çevirisinden elde edilen maddeler dizisinden çözümleme kuralı kullanılarak $\lnot \varphi$ cümleleri. Bu, insanların çözüm önerme kanıt sistemi olarak adlandırdığı öneri kanıt sistemidir.

4)

Çözünürlük olduğu gibi iyidir, ancak kişi sizin bahsettiğiniz şekilde de düşünebilir, yani, kesik formül pozitif bir atom olduğunda kesik kural olarak elbette negatif atomları öncüye taşıyarak ve başarılı olanlar olumlu olanlar:

\frac{\Rightarrow φ, C C \Rightarrow ψ}{\Rightarrow φ, ψ}

$\Rightarrow \varphi, C \hspace{1cm} C \Rightarrow \psi \over \Rightarrow \varphi, \psi$

Frege'nin alt sistemlerindeki (ve hatta nicelikli teklif mantığı gibi daha güçlü benzer teklif kanıtı sistemlerinin alt sistemlerinde olan bir öneri kanıt sisteminin gücünü tanımlayan şeyin ne olduğuna dikkat edin. $G$ ) temel olarak kesilebilecek formül sınıfıdır. Bence Gentzen PK'sini alabilir ve kesim kuralını bu tür kesim formüllerine uygulamak için kısıtlayabiliriz ve sonuçta ortaya çıkan kanıt sistemi CNF'leri kanıtlamaktan daha güçlü olmayacaktır. Herhangi bir CNF'nin (pozitif atomlarla sıralı formda yazılmış) herhangi bir kanıtı sadece benzer sekanslara sahip olabilir, yani daha karmaşık formüllerin CNF'leri kanıtlamak için hiçbir faydası yoktur (kesimin, sekanslardan formülleri çıkarabilen tek kural olduğuna dikkat edin).

ps: Cevabım esas olarak kanıt karmaşıklığı teorik bakış açısından. Yapısal ispat teorisi gibi diğer bakış açılarını kontrol etmek isteyebilirsiniz .

Referanslar:

Robert A. Reckhow, " Önerme Analizinde İspat Uzunlukları Üzerine ", 1976.

— Kaveh
kaynak

Cevabınız için teşekkürler. Uday'ın benzer şeyleri nasıl söylediğini görüyorum, ancak cevabını daha kolay takip edebileceğimi gördüm.

— Vijay D

@VijayD, elbette, sorun değil. :)

— Kaveh